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1、- 1 -第一章第一章随机事件及其概率随机事件及其概率一、基本概念一、基本概念1 事件的关系与运算、运算规律事件的关系与运算、运算规律因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理。事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的表 1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号BABAABBABABABABAABBABABABABABABABABAA
2、AAAU,对偶律：，ABABUIABABIU2、概率的定义、概率的定义频率频率：，其中为试验次数, 为事件发生的次数A nnf ( A)nnAnA概率的统计定义：概率的统计定义：在相同条件下重复进行 n 次试验，若事件发生的频率随着试验次数 n 的增大而稳定地在某个常数(附近摆动，则称为事件的概率，记为AA nnf ( A)np) 10 pp)(AP古典概型：古典概型：具有下列两个特征的随机试验模型：1. 随机试验只有有限个可能的结果;2. 每一个结果发生的可能性大小相同.概率的古典定义：在古典概型的假设下，设事件包含其样本空间中个基本事件, 即则事件发生的概率ASk, 21kiiieeeAU
3、LUUA.)()()(11中基本事件的总数包含的基本事件数 SA nkePePAPkjikjijj U概率的公理化定义：概率的公理化定义：设是随机试验, 是它的样本空间,对于的每一个事件赋于一个实数, 记为, 若满足下列三个条件:ESEA)(AP)(AP1. 非负性：对每一个事件,有 ;A0)(AP2. 完备性：;1)(SP3. 可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有则称为事件的概率.L,21AA. )()(11iiiiAPAP U)(APA概率的基本性质：概率的基本性质： 1 0P; - 2 -设是两两互不相容的事件，则有 212nA ,A ,AL 11nniiiiP(A )P( A ).
4、 U 3 1P AP A ; 特别地，若，则 4 P ABP AP AB ;BA P ABP AP B ; P AP B ;对任一事件 A 有 5 1P A 对于任意两个事件 A，B 有 6 P ABP AP BP ABU3、条件概率与独立性、条件概率与独立性条件概率：条件概率：（） ，在事件发生的条件下,事件的条件概率.)()()|(APABPABP0)(APAB事件的独立性：事件的独立性：,相互独立A BP( AB)P( A)P(B)相互独立nAAA,21L 111 jjkkii jjk,kn,PAP A I事件独立的性质：事件独立的性质：当,时, ,相互独立与,互不相容不能同时成立. 但
5、与既相互独立又互不相容(自证). 10)(AP0)(BPA BA BS设,是两事件, 且,若,相互独立, 则. 反之亦然. 2A B0)(APA B)()|(APBAP伯努利概型（试验的独立性）伯努利概型（试验的独立性）设随机试验只有两种可能的结果：事件发生(记为)或事件不发生(记为)，则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验。AAAA将伯努利试验独立地重复进行次，称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。nn二、基本公式二、基本公式1、加法公式：、加法公式： 1 P ABP AP B ,AB U、 2 111nniiijiiP(A )P( A ),A Ai, j,n UL、 3 P A
6、BP AP BP ABU 4 UUP ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC若，则 5BA P ABP BP A ; 6 1P AP A2、乘法公式、乘法公式,相互独立， 1A BP( AB)P( A)P(B)- 3 -（） ，或（） 2P(B| A)P( A)P( AB)0)(APP( A|B)P(B)P( AB)0P(B)， 3 121211122211nnnnnP A AAP A | A AAP A| A AAP A | A P ALLLL1210nP A AAL3、全概率公式、全概率公式设是一个完备事件组,且则对任一事件,有LL,21nAAA, 0)(iAP, 2
7、, 1LiBLL)|()()|()()(11nnABPAPABPAPBP注注: 全概率公式可用于计算较复杂事件的概率, 公式指出: 在复杂情况下直接计算不易时,可根据具体情况构造一组完备事件, 使事件发生的概率是各事件发生条件下)(BPiAB), 2 , 1(LiAi引起事件发生的概率的总和。B4、贝叶斯公式、贝叶斯公式设是一完备事件组,则对任一事件,有LL,21nAAAB0)(BP, 2 , 1,)|()()|()( )()()|(LiABPAPABPAP BPBAPBAPjjjiii i注: 公式中,和分别称为原因的验前概率和验后概率.是在没有进一步信息(不知道事件是否发生)的情况下诸事件
8、发生的概率.当获得新的信息(知道)(iAP)|(BAPi), 2 , 1)(LiAPiB发生),人们对诸事件发生的概率有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化.B)|(BAPi第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布一、基本概念一、基本概念分布函数：分布函数：定义：即 x 是任意实数 F xP Xx(x) 性质：性质：值域（有界性）：对于任意实数 x， 01F x; 1)(lim)(, 0)(lim)( xFFxFF xx单调非减性： 若, 则；21xx )()(21xFxF右连续性：).()(lim0 0xFxF xx计算概率：计算概率：对于任意实数，且，有12x ,x12xx
9、1221P xXxF xF x二、离散型随机变量二、离散型随机变量性质：性质：；01 2ip,i, ,L111 2i ip,i, ,L分布律与分布函数：分布律与分布函数：设离散型随机变量的概率分布为，则的XLLLLnin ppppxxxX2121X分布函数为iii xxxxF( x )P XxP Xxp常见的离散型随机变量：常见的离散型随机变量：- 4 -二项分布二项分布：B n,p10 1 2n kkk kknP Xx pC pp,k, , ,nL泊松分布： P00 1 2k P Xk e,k, , ,k!L三、连续性随机变量三、连续性随机变量定义：定义：是连续型随机变量存在非负可积函数,使
10、得对于任意实数成立：X)(xfx.)()(xdttfxXPxF概率密度函数：概率密度函数：是连续型随机变量的概率密度函数，且)(xf0)(xf.)()(xdttfxF性质：性质：，对一切 x 成立 10)(xf（确定待定常数） 2. 1)(dxxf对于任意实数，且，有 312x ,x12xx2112xxP xXxf( x)dx若在点处连续, 则 4)(xfx)()(xfxF连续型随机变量取任一指定值的概率为 0 5X)(Raa设充分小，则随机变量 X 取区间上值的概率近似等于 6xxxx, xxf常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量均匀分布：均匀分布：若连续型随机变量的概率密度为(记住密度
11、函数)X 其它, 0,1 )(bxaabxf则称在区间上服从均匀分布, 记为.X),(ba),(baUX正态分布正态分布：定义：若随机变量的概率密度为X., 21)(222)( xexfx 其中和都是常数, 则称服从参数为和的正态分布. 记为。)0(X2参数意义：，的概率密度关于直线对称，由对称性可以得到，X 落在左右两个相同大小区域内的概率相等 E XX f xx 11 2F() 2PhXPXh- 5 -，决定了概率密度的形状，最大值 2D X f xmax1( )2f x标准正态分布正态分布当时称为标准正态分布, 此时, 其密度函数和分布函数常用和表示: 1, 0)(x)(x,21)(22
12、x exxt dtex2221)(标准正态分布的重要性在于, 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.正态分布化为标准正态分布：设则),(2NX).1 , 0( NXY标准正态分布表的使用：标准正态分布表中给出的是时的数值, 当时, 利用正态分布的对称性，有 10x)(x0x);(1)(xx若则 2),1 , 0( NX);()(abbXaP若, 的分布函数 3),(2NXX;)( xxXPxXPxF 4 bYaPbXaP. ab正态分布的线性函数：若，则随机变量，),(2NX22,YaXbN ab a0a 四、随机变量的函数的分布计算：例 3，习题 2-5第三章第三章多维
13、随机变量及其分布多维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布定义定义定义在上的两个随机变量所组成的向量S)(),(eYYeXX分布函数：分布函数：对任意实数, 二元函数，称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分yx,)()(),(yYxXPyYPxXPyxF记为I),(YXXY布函数几何意义：在处的函数值是随机点落在以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。( , )F x y, x y),(YX, x y性质：性质：且对任意固定的 对任意固定的 1, 1),(0yxF, y, 0),( yF, 0),(,xFx; 1),(, 0),(FF关于和均为单
14、调非减函数, 即对任意固定的 当对任意固定的 当 2),(yxFxy, y),(),(,1212yxFyxFxx, x);,(),(,1212yxFyxFyy关于和均为右连续,即 3),(yxFxy).0,(),(), 0(),(yxFyxFyxFyxF二、离散型二维随机变量二、离散型二维随机变量定义定义若二维随机变量只取有限个或可数个值, 则称为二维离散型随机变量。为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量.),(YX),(YX),(YXYX,联合分布律：联合分布律：若二维离散型随机变量所有可能的取值为 则称为二维离散型随机变量的概率分布),(YX),(jiyx, 2 , 1,Lji), 2 , 1,(,LjipyYxXPijji),(YX- 6 -(分布律), 或的联合概率分布(分布律).YX与计算概率计算概率取值于任何区域上的概率，即,),(YXD Dyxijjip
