《学而思_小升初专项训练__数论篇(1)_教师版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学而思_小升初专项训练__数论篇(1)_教师版（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名校真题名校真题 （数论篇）（数论篇）1 （0505年人大附中考题）年人大附中考题） 有有_个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整 除它本身。除它本身。 2 （0505 年年 101101 中学考题）中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的 9 9 倍，问这个两位数倍，问这个两位数 是。是。 3 （0505 年首师附中考题）年首师附中考题）+ + += =
2、。 211 2121202 2121212113131313 2121215054 （0404 年人大附中考题）年人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的甲、乙、丙代表互不相同的3 3个正整数，并且满足：甲个正整数，并且满足：甲甲甲= =乙乙+ +乙乙= =丙丙135135那么甲最小是那么甲最小是_。5(0202 年人大附中考题年人大附中考题) ) 下列数不是八进制数的是下列数不是八进制数的是( ( ) ) A A、125125 B B、126126 C C、127127 D D、128128 【附答案附答案】1 【解解】：6 62 2 【解解】：设原来数为：设原来数为 abab，这样后来的数
3、为，这样后来的数为 a0b,a0b,把数字展开我们可得：把数字展开我们可得：100a+b=9(10a+b),100a+b=9(10a+b),所以我所以我 们可以知道们可以知道 5a=4b,5a=4b,所以所以 a=4,b=5,a=4,b=5,所以原来的两位数为所以原来的两位数为 4545。3 【解解】：周期性数字，每个数约分后为：周期性数字，每个数约分后为+ + + +=1=1211 212 215 21134 【解解】：题中要求丙与：题中要求丙与135135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+ +乙），这样我们分解乙），这样我们分解 135=5135=5
4、333，所以丙最小应该是，所以丙最小应该是2253，所以甲最小是：，所以甲最小是：2335=90。5 5 【解解】：八进制数是由除以：八进制数是由除以 8 8 的余数得来的，不可能出现的余数得来的，不可能出现 8 8，所以答案是，所以答案是 D D。小升初专项训练小升初专项训练 数论篇数论篇基本公式基本公式1 1）已知已知b|c,a|c,b|c,a|c,则则a,b|c,a,b|c,特别地特别地，若若(a,b)=1,(a,b)=1,则有则有ab|cab|c。 讲解练习讲解练习：若：若3a75b3a75b能被能被7272整除，问整除，问a=a=,b=,b=. .（迎春杯试题）（迎春杯试题）2 2）
5、已知）已知c|abc|ab，(b,c)=1,(b,c)=1,则则c|ac|a。3 3）唯一分解定理：任何一个大于）唯一分解定理：任何一个大于1 1的自然数的自然数n n都可以写成质数的连乘积，即都可以写成质数的连乘积，即n=n= p1p1 p2p2.pk.pk（#)#)1a2aak其中其中p1bcdabcd 那么从小到大的第那么从小到大的第5 5个就是个就是dacb,dacb,它是它是5 5的倍数，因此的倍数，因此b=0b=0或或5 5，注意到，注意到bcd,bcd,所以所以b=5;b=5; 从大到小排列的第从大到小排列的第2 2个是个是abdc,abdc,它是不能被它是不能被4 4整除的偶数
6、；所以整除的偶数；所以c c是偶数，是偶数，c cb=5b=5，c=4c=4或或2 2 从小到大的第二十个是从小到大的第二十个是adbc,adbc,第五个是第五个是dacb,dacb,它们的差在它们的差在3000-40003000-4000之间，所以之间，所以a=d+4a=d+4； 因为因为ab,ab,所以所以a a至少是至少是6 6，那么，那么d d最小是最小是2 2，所以，所以c c就只能是就只能是4 4。而如果。而如果d=2d=2，那么，那么abdcabdc的末的末2 2位是位是2424，它是，它是4 4的的 倍数，和条件矛盾。因此倍数，和条件矛盾。因此d=3,d=3,从而从而a=d+4
7、=3+4=7a=d+4=3+4=7。 这这2424个四位数中最大的一个显然是个四位数中最大的一个显然是abcd,abcd,我们求得了我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3a=7,b=5,c=4,d=3 所以这所以这2424个四位数中最大的一个是个四位数中最大的一个是75437543。【例例2】2】（）一个一个5 5位数，它的各个位数字和为位数，它的各个位数字和为4343，且能被，且能被1111整除，求所有满足条件的整除，求所有满足条件的5 5位数？位数？ 思路思路 ：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被1111整除，但
8、我们发现被整除，但我们发现被1111整除性整除性 质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手【解解】：5 5 位数数字和最大的为位数数字和最大的为 95=4595=45，这样，这样 4343 的可能性只有的可能性只有 9 9，9 9，9 9，9 9，7 7 或或 9 9，9 9，9 9，8 8，8 8。这样。这样 我们接着用我们接着用 1111 的整除特征，发现符合条件的有的整除特征，发现符合条件的有 9997999979，9799997999，9898998989 符合条件。符合条件。【例例 3】3】（）由）由 1
9、，3，4，5，7，8 这六个数字所组成的六位数中，能被这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多少？整除的最大的数是多少？【解解】：各位数字和为各位数字和为 1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为所以偶数位和奇数位上数字和均为 14 为了使得该数最大，首位必须是为了使得该数最大，首位必须是 8，第，第 2 位是位是 7，14-8=6 那么第那么第 3 位一定是位一定是 5，第，第 5 位为位为 1 该数最大为该数最大为 875413。 拓展拓展 ：一个三位数，它由：一个三位数，它由 0 0，1 1，2 2，7 7，8 8 组成，且它能被组成，且它能被 9
10、9 整除，问满足条件的总共有几个？整除，问满足条件的总共有几个？【例例 4】4】（）一个学校参加兴趣活动的学生不到）一个学校参加兴趣活动的学生不到 100100 人，其中男同学人数超过总数的人，其中男同学人数超过总数的 4/74/7 ，女同学，女同学 的人数超过总数的的人数超过总数的 2/52/5 。问男女生各多少人？。问男女生各多少人？ 【来源来源】：0606 年理工附入学测试题年理工附入学测试题【解解】：男生超过总数的：男生超过总数的 4/74/7 就是说女生少个总数的就是说女生少个总数的 3/73/7，这样女生的范围在，这样女生的范围在 2/52/53/73/7 之间，同理可得之间，同理
11、可得 男生在男生在 4/74/73/53/5 之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在 28/7028/7030/7030/70 之间，所以只能是之间，所以只能是 2929 人，人， 这样男生为这样男生为 4141 人。人。2 2 质数与合数（分解质因数）质数与合数（分解质因数）【例例5】5】（）200520056846843 37 75 5最后最后4 4位都是位都是0,0,请问请问里最小是几里最小是几? ?【解解】：先先分析分析123410123410的积的末尾共有多少个的积的末尾共有多少个0 0。由于分解出。由于分解出2 2的个数比的个数比5 5多，
12、这样我们可以得多，这样我们可以得 出就看所有数字中能分解出多少个出就看所有数字中能分解出多少个5 5这个质因数。而能分解出这个质因数。而能分解出5 5的一定是的一定是5 5的倍数。注意：的倍数。注意：5 5的倍的倍 数能分解一个数能分解一个5 5，2525的倍数分解出的倍数分解出2 2个个5 5，125125的倍数能分解出的倍数能分解出3 3个个55最终转化成计数问题，如最终转化成计数问题，如5 5 的倍数有的倍数有10/5=210/5=2个。个。2005=54012005=5401 684=22171684=22171375=3555375=3555前三个数里有前三个数里有2 2个质因子个质
13、因子2 2，4 4个质因子个质因子5 5，要使得乘积的最后，要使得乘积的最后4 4位都是位都是0 0 应该有应该有4 4个质因子个质因子2 2和和4 4个质因子个质因子5 5，还差，还差2 2个质因子。因此个质因子。因此里最小是里最小是4 4。 拓展拓展 ：20056843752005684375最后最后4 4位都是位都是0 0，且是，且是7 7的倍数，问的倍数，问里最小是里最小是_【例例 6】 （）03 年年 101 中学招生人数是一个平方数，中学招生人数是一个平方数，04 年由于信息发布及时，年由于信息发布及时，04 年的招生人数比年的招生人数比 03 年多了年多了 101 人，也是一个平
14、方数，问人，也是一个平方数，问 04 年的招生人数？年的招生人数？【解解】：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设 03 年的为年的为 A A ，0404 年的为年的为 B B ，从中我，从中我22们发现们发现 0404 年的比年的比 0303 年多年多 101101 人，这样我们可以列式子人，这样我们可以列式子 B B - - A A =101=10122此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，所以所以 B B - - A A = =（A+BA+B） （A-BA-B）=101=101，可见右边的数也要分成，可见右边的数也要分成 2 2 个数的积，还得考虑同奇偶性，但个数的积，还得考虑同奇偶性，但 101101 是个是个22质数，所以质数，所以 101101 只能分成只能分成 10111011，这样，这样 A+B=101A+B=101，A-B=1A-B=1，所以，所以 A=50A=50，B=51B=51，所以，所
