高中幂函数 基础不好的一看就懂

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1、【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容： 3.3 幂函数 3.4 函数的应用（II）二. 教学目的1、通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图 象，了解它们的变化情况。 2、利用计算工具比较指数函数，对数函数以及幂函数的增长差异，结合实例体会直线上 升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 3、收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数）的实例， 了解函数模型的广泛应用。三. 教学重点、难点 重点：（1）幂函数的定义、图象和性质 （2）建立数学模型 难点：（1）幂函数的图象的位置和形状变化 （2）建立数学模型四. 知识分析 （一）关于幂函数1. 幂函数的定义：

2、一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，a 是常数。 在这里我们只讨论 a 是有理数时的简单的幂函数。 掌握幂函数的关键一定要明确“形如的函数”这句话的重要作用。函数“”等都是幂函数，而象“”等就不是幂函数。足见幂函 数对格式要求之严格。 对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的，幂指数不同，定义域和值域 也不同： （1）当指数 n 是正整数时，定义域是 R。（2）当指数 n 是正分数时，设（p,q 是互质的正整数，q1），则。 如果 q 是奇数，定义域是 R； 如果 q 是偶数，定义域是0,)。（3）当指数 n 是负整数时，设显然 x 不能为零，所以定义域是（4）当指数

3、 n 是负分数时，设（p,q 是互质的正整数，q1），则。如果 q 是奇数，定义域是； 如果 q 是偶数，定义域是（0,）。2. 幂函数的图象与性质幂函数部分的内容是学习的难点，要突破这个难点，关键是如何快速 地画出能基本反映幂函数图象特征的草图，因为有了草图，有关幂函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性等函数性质就会一目了然，而且也有利于培养、形成数形结合的思维习惯。（1）第一象限内图象规律总结（结合图形）： n1 时，过（0，0）、（1，1）的抛物线型，下凸递增。 n1 时，过（0，0）、（1，1）的射线。 01 的图象都在 号部分里，分布得相当有规律。 在直线 x1 的左侧，同样有类似的规

4、律，同学们可以自己发现。其实有上面的规律足 够用了。（2）整个图象的规律：设（p,q 是互质，pZ，qN） 任何幂函数在第一象限必有图象，在第四象限必无图象； 时，函数非奇非偶，只在第一象限有图象； 时，函数是偶函数，图象在第一、二象限都有图象（坐标轴上也可能有） 并关于 y 轴对称。 时，函数是奇函数，图象在第一、三象限都有图象（坐标轴上也可能有） 并关于原点对称。 （3）快速作幂函数图象的步骤：不管 n 取什么有理数，幂函数的公共定义域为 （0，），可见幂函数在第一象限内总有图象，因此作幂函数图象应先从第一象限入手： 先作出第一象限内的图象； 若幂函数的定义域为（0，）或0，作图已经完成；

5、若幂函数在（，0）或（，0）上也有意义，则应先判断函数的奇偶性，再利用 奇函数或偶函数的性质作出在（，0）或（，0）部分的图象。 （4）掌握下面几个典型的幂函数的图象和性质是很有必要的：函数 yxnn 1R0,+)RRRR0,+)R0,+)R奇函数非奇非偶奇函数偶函数奇函数(-,+)0,+)(-，+)(-,0,0,+)(-,+)（二）关于函数的应用 数学来源于生活，又服务于生活，在生活中的形形色色的数据处理需要数学模型， 对于事物的发展和预测也离不开数学模型的建立，所以数学模型是提出问题和解决问题 的必由之路。 掌握函数的基本知识是学好本节内容的前提，例如函数概念、指数函数和性质、对 数函数和

6、性质。反过来，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还 能提高同学们学习数学的积极性。在函数建模的学习过程中，一方面要求同学们注意熟悉相关实际背景，另一方面要 注意总结整理常用的函数模型。同时，不能忽视归纳思想的应用，通过从具体到一般， 发现函数的变化规律是建立数学模型的一种有效方法。 在实际建模过程中，要学会化整为零，分步骤、有层次地完成，要求掌握计算器的 使用。 这部分内容常见的数学模型有: (1) 平均增长率问题：如果原产值为 N，平均增长率为 p，则对于时间 x 的产值或产量； (2) 储蓄中的复利问题：如果本金为 a 元，每期利率为 r，本金和为 y，存期为 x，则；

7、(3) 根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉 渠的横截面面积 A 和水深 h 的函数关系； (4) 通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等。【典型例题典型例题】例 1. 在的条件下，。若不等式在 （0，1）上成立，则 n 的取值是_.解析：不等式在（0，1）上成立，即 f(x)在（0，1）上的图象在直线 yx的上方，根据幂函数图象在第一象限的特点很容易得到答案： 点评：幂函数图象的位置和形状变化复杂，只要指数稍有不同，图象的位置和形状 就可能发生很大的变化。数形结合的方法是快速解决本题的关键。例 2. 求函数的定义域解析：原函数可化为，从而欲使函数

8、有意义，应有，解得：，即函数的定义域是2，3(3，)。 点评：正确判断函数的定义域是完成函数图象、讨论函数的性质的前提，必须加以 重视。掌握各种幂函数的定义域是解决这个问题的前提。例 3. 当 m 为何值时，幂函数的图象同时通过点（0，0）和 （1，1）？解析：因为函数是幂函数，所以；又考虑到函数图象过点（0，0）和（1，1），则。即，解得：。点评：幂函数的定义是严格的定义形式，只有形如的函数才是幂函数，不能有一丝偏差，比如就不是幂函数。对几种常见幂函数的图象和性质的掌握也 是解决这个题的关键。例 4. 比较下面各组数的大小：（1） 与 （2）与解析：（1）由于幂函数在（0，）上单调递减，且

9、3.14 （2）由于幂函数是奇函数且在（0，）上单调递减，从而在（，0）上也单调递减，因为，所以点评：利用函数单调性比较大小是很常见的方法。第（2）题也可以先比较与的大小，再利用奇偶性最终解决问题。例 5. 若，求实数 a 的取值范围。解析：考察函数的图象，可知|x| 越小，函数值越大。从而有|a+1|3-2a|, 另外注意到 a+10 和 3-2a0，即有解得：。 点评：由这个解法可以看出，深刻认识函数图象可以更巧妙地解决问题。例 6. 按复利计算利率的一种储蓄，本金为 a 元，每期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，写出本利和 y 随存期 x 变化的函数。如果存入本金 1000 元，每

10、期利率为 2.25，试计 算 5 期后的本利和是多少？（精确到 0.01 元） 解析：复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计 算下一期的利息。已知本金是 a 元，一期后的本利和为；二期后的本利和为；三期后的本利和为； x 期后的本利和为。将 a1000 元，r2.25，x5 代入上式得：（计 算器算出）答：复利函数式为，5 期后得本利和为 1117.68 元。点评：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原产值为 N，平均增长率为 p，则对于时间 x 的总产值或总产量 y，就可以用公式表示，解决平均 增长率问题，就需要用这个函数式。例 7. 设在海拔 x

11、m 处的大气压强是 y Pa，y 与 x 之间的函数关系是，其中 c, k 是常数，测得某地某天海平面的大气压强为 1.01105 Pa，1000 m 高空的大气压强为 0.90105 Pa，求 600 m 高空的大气压强？（保留 3 个有效数字）解析：由题意，得：，由得：c 1.01105，代入 ，得：，利用计算器得；1000k0.115，所以 k1.15104，从而函数关系是。再将 x600 代入上述函数式得，利用计算器得：y9.42104 答：在 600 m 高空得大气压强约为 9.42104 Pa。 点评：本题主要考察求函数解析式，再由解析式求函数值，某些计算必须借助计算器 才能完成。

12、例 8. 20 世纪 30 年代，查尔斯里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用 测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级 M，其计算公式为：，其中 A 是被测地震的最大 振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造 成的偏差）。 （1）假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20，此时标准地震的振幅是 0.001，计算这次地震的震级（精确到 0.1） （2）5 级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6 级地震最大振幅是 5 级地震最大振幅 的多少倍（精确到

13、1）？ 解析：（1）因此，这是一次约为里氏 4.3 级的地震。（2）由可得当 M7.6 时，地震的最大振幅为 A1A0107。6；当 M5 时，地震的最大振幅为 A2A0105。所以，两次地震的最大振幅之比是故 7.6 级地震最大振幅约是 5 级地震最大振幅的 398 倍。点评：正确理解题意是本题的关键，对对数运算技巧的掌握是解决本题的基本保证。【模拟试题模拟试题】1. 如图，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知 n 取2，四个值，相应 于曲线 C1,C2,C3,C4的 n 依次为（ ）（A） （B）（C） （D）2. 函数的定义域是（ ）（A）R （B） （C） （D）3. 的大小关系是（

14、） （A） cba （B） cab （C）bac （D）acb 4. 下列结论中，正确的是（ ） （A）幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1） （B）幂函数的图象可以出现在第四象限（C）当幂指数 n 取 1，2，3，时，幂函数是增函数（D）当幂指数 n1 时，幂函数是减函数 5. 当 0ab1 时，下列不等式中正确的是（ ）（A） （B）（C） （D）6. 某种菌类生长很快，长度每天增长 1 倍，在 20 天长成 4 米，那么长成米需要（ ）天。（A） （B）5 （C）12 （D）16 7. 已知镭经过 100 年剩留原来质量的 95.76，设质量为 1 的镭经过 x 年后的剩留量为 y，

15、那么，x, y 之间的函数关系是（ ）（A） （B）（C） （D）8. 函数的奇偶性是_ 9. 我国 GDP 计划从 2000 年到 2010 年翻一番，平均每年的增长率为 _10. 求函数的值域。11. 设函数，如果，求 x0的取值范围，并画图加以 说明。 12. 某公司拟投资 100 万元，有两种获利方式可以选择：一种是年利率 10，按单利计 算，5 年后收回本金和利息；另一种是年利率 9，按每年复利一次计算，5 年后收回本金 和利息，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资 5 年可多得利息多少元？ 13. 家用电器（如电冰箱）使用的制冷剂氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，臭氧含量 Q 呈指数型函数变化，满足关系式，其中 Q0是臭氧的初始含量。 （1）随时间的增加，臭氧含量将是增加还是减少？ （2）多少年后，臭氧含量是现在的一半？