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1、数数 列列 求求 和和 的的 九九 种种 方方 法法汉川二中数学组 万小艳数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学竞赛中都占有重要地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法：运用公式法，倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法，通项分析法，分类讨论法，数学归纳法等。一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。等差数列求和公式：S = = na +d等比数列求和公式：当 q1 时，S = = 当 q=1 时，S = na另外，可记住如下常
2、用求和公式：S = 1 + 2 + n =S =1 + 2 +n = n(n+1)(2n+1)S =1 +2 +n =n(n+1)例 1：求和：1+(1/a)+(1/)+(1/)2ana1;nn解：当a=1时，S111111a1a111nnnna aa a当时，原式 11 11nnn Saaan+1，a=1 a二.分组求和法若数列 的通项可转化为 的形式，且数列 可求出前 n 项和 nannnabc nb nc,bcss 则1211221212()()() ()()nnnnnnbcsaaa bcbcbc bbbccc ss L L LL2222 2111() ,() ,()n nnxxxxxx
3、L例 2：求下列数列的前项和 22 211()2nn nnnaxxxxQ解242 242111(2)(2)(2)n nxxxxxxL124nxnnnn 当时，S2222222222211(1)(1)(1)(1)12211(1)1nnnnnnxxxxxxxnnxxx x 当时，S222224 (1)(1)(1)2 (1)(1)nn n nn x Sxxn xxx 三：倒序相加法求和课本等差数列前 n 项和公式 就是用倒序相加法推导的。倒序相加法求和即是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个（a +a ）例 3、求证 C +3C +5C +（2n+1）C =(n+1)2证明：
4、设 S =C +3C +5C +（2n+1）C 将右边倒转过来得：S =（2n+1）C +（2n-1）C+3C +C 由 C =C得，S =（2n+1）C +（2n-1）C +3C+C +得：2S =(2n+2)(C +C +C+C )=(2n+2)2 Sn1 2n 四、错位相减法求和这种方法主要用于数列a b 的前 n 项和，其中a ,b 分别是等差数列和等比数列，且b 的公比不为 1。例 4、求和：1+3a+5a +7a +(2n-1)a(a0)解：数列(2n-1)a是由等差数列2n-1和等比数列a的相应项乘积组成。nS当 a=1 时，S =1+3+5+（2n-1）= = n1212nn当
5、 a1 时，S =1+3a+5a +（2n-1）a ，两边分别乘以公比 a 得：aS =a+3a +5a +（2n-3）a+(2n-1)a -得：（1-a）S =1+2a+2a +2a +2a-(2n-1)a=1-(2n-1)a +，于是 S = - +21 1nna a 五：裂项求和法顾名思义， “裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为 0 达到求和目的的一种求和方法。1! 2 2! 3 3!Sn n L例 5：已知求S! (1)(1)!kkk分析：有阶乘的性质可知所以：于是该和式求值可用“裂项相消法”!(1)!k kkk1! 2 2! 3 3!Sn n L解：(2! 1!
6、)(3! 2!)(4! 3!)(1)!nnL(1)! 1n小结：裂项相消法常用的消项变换有 111 (1)1nan nnn（1）1111()(21)(21)2 2121nannnn（2）111nannnn （3）!(1)!nan nnn（4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)nan nnn nnn（5）1(1) (1)(2)(1) (1)3nan nn nnnn n（6）六、通 项 分 析 法通项分析法就是根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法为基础，对数列的通项公式进行分析，从而决定使用那种方法求和。22111 21 2 21 2 22nn LL例 6：求数列 ，的前项和分析
7、：由数列的结构来分析，该数列的第 k 项应该是：1(1 2 )21 1 2122221kkk ka L1(1 2 )21 1 2122221kkk ka L解：12(21)(21)(21)n nS L2(222 )(1 11)n LL2(1 2 ) 1 2nn 122nn例 7：求和12(1)3(2)1Snnnn L分析：这个数列是数列 1，2，3,n 与它的倒序数列的积数列，共有 n 项，在这里把n 看成常数来分析它的通项就容易了。2(1)(1)kak nknkkk kn取从到的自然数所以，该数列可以看作通项为的三个数列的差、和数列2,nk kk123nSaaaaL解：222(1 2)(12
8、)(1 2)nnnn LLL(1)(1)(21)(1) 262n nn nnn nn1 6(1)(2)n nn1 2 32 3 43 4 5(1)(2)nSn nn L例 8：求和( k 取 1，2，3、 、 、n)(1)(2)kak kk分析：3 26kC3411 341kkk nnnCCCCC 由，3333 34526666nnSCCCCL所以3333 34526()nCCCCL4 36nC说明：观察此题每一项由三个连续自然数的积组成，前后两项有两个因子相同，很自然联想使用裂项相消求和。下面我们再来看一下并项求和法与分类讨论法 1 22:() ()( 1)bna nnnn nnnanSSn
9、NbnT 例9 设等差数列的前项和为，且，若求数列的前项和11 21121()anas解：当时，11a 解得： (1) 2nna nnaSQ为等差数列，1(1)122 222() ,()nnnanaa nS代入得121nnaan 解得：或2 11121,nnnaaanSn 但与矛盾，2( 1)( 1)nn nnbSn 于是，222221234( 1)nnTn L222221234( 1)nnTn L2( 1)0;0n nnnbnnTnT 由通项公式可知：为偶数时，为奇数时，求和时，先分 n 为奇，偶数进行讨论，后考虑并合。22 ()nnnm mNm当为偶数时，设，则22222 2(21)(43
10、 )(2 )(21) nmTTmmL37(41)mL(3 41) 2(21)mmmm(1) 2n n21(0,1,2,)nnmmL当为奇数时，设取1 2nm21221nmmmTTTb2(21)(21)mmm(1)21 22n nnnn 所以：(1)( 1)2n nn nT 2200199n3nL例10: 求等差数列，的前项的绝对值之和T。1601,200(1)()33nnnaan解：设此数列为则60100,6013nnan令得：解得：601601,0,6010;6010nnnananana即：中当时当时，当时，当 n601 时； 2 1212601(200)13(1201 )26nnnnn T
11、aaaaaann 12126016021260160212601n601()2()nnnnTaaaaaaaaaaaaaaaa 当时，1260160212601()2()naaaaaaaa 2601(200)601(2000)132(1201721200)226nn nn 2n 21(1201 ),6016 1(1201721200),6016nnn T nnn 故此类题需根据通项确定各项的正、负，再去掉绝对值。上面讨论的八种方法灵活运用，多样结合就可解决常见的数列求和问题。对于数学归纳法求和，涉及到观察、猜想、归纳、证明等步骤，并且其关键在于猜想得出和式，在此就不作论述了。在数列求和过程中，根据数列的特点，采用适当的方法，定能较快、准确的解题。nnan于是可知，求新数列的前项和T需要对项数n进行讨论
