广东高一数学各章知识点总结

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1、- 1 -第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 。 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个 给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入 一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否 一样，仅需比较它们的元素是否一样元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (

2、4)集合元素的三个特性使集 合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示集合的表示： 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 。(1)用拉丁字母表 示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 。 (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：记作：N ；正整数集；正整数集 N*或或 N+ ； 整整 数集数集 Z ； 有理数集有理数集 Q ； 实数集实数集 R 。 关于关于“属于属于”的概念的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就 说 a 属于集合 A

3、记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 aA。 集合的表示方法：列举法集合的表示方法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法描述法： 将集合中的元素的公共属性公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对 象是否属于这个集合的方法。 语言描述法语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述数学式子描述 法法：例：不等式 x-32 的解集是x | x-32 且 xR 。 4、集合的分类集合的分类：(1)有限集有限集：含有有限个元素的集合 (2)无限集无限集：含有无限个元素的集合 (3)空空 集集：不含任何元素的集合，例：x|x2=5

4、二、集合间的基本关系 1、 “包含包含”关系关系 子集子集 注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分；（2）A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B，或集合 B 不包含集合 A，记作 A B 或 B A 。 2、 “相等相等”关系关系 “元素相同” 对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何 一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即：A=B 。 任何一个集合是它本 身的子集。AA 真子集：如果 AB 且 AB，那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 (或 ) 如果 AB，BC ，那么 AC

5、 如果 AB ，同时 BA 那么 A=B 3、 不含任何元素的集合叫做空集，记为不含任何元素的集合叫做空集，记为 。 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集非空集 合合的真子集。 三、集合的运算 1、交集的定义交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的交集。记 作 AB(读作“A 交 B”)，即 AB=x |xA,且 xB。 2、并集的定义并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的 并集。记作：AB(读作“A 并 B”)，即 AB=x |xA,或 xB。 3、交集与并集的性质交集与并集

6、的性质：AA = A, A= , AB = BA, AA = A, A= A ,AB = BA. 4、全集与补集全集与补集 （1）补集补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作： ， 即 =x xS 且 xA A SCA SC（2）全集全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 （3）性质：性质： =A A= A=U 。A UC UCA UCA UC- 2 -四、函数的有关概念 1、函数的概念、函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按

7、照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任 意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数。记作： y=f(x)，xA。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域。注意注意：如果只给出解析 式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。定义域定义定义域定义：能使函数式有意义的实数 x 的集合 称为函数的定义域，求函数的定义域时列

8、不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶 次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底数必须大于零且 不等于 1； (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分 都有意义的 x 的值组成的集合； (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 （又注 意：求出不等式组的解集即为函数的定义域） 2、构成函数的三要素构成函数的三要素：定义域、对应法则和值域定义域、对应法则和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对 应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域和对应关

9、系 完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对 应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同； 定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充值域补充 (1)函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考 虑其定义域。 (2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求 解复杂函数值域的基础。 3、 函数图象知识归纳函数图象知识归纳 (1)定义定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为

10、纵坐标的 点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x)，(x A)的图象。C 上每一点的坐标(x , y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x , y)，均在 C 上 。即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C 一般是一条光滑的连续曲线(或直线)，也可能是由与任意平行 与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐 标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接

11、起来。B、图象变换法（请参 考必修 4 三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换。 (3)作用作用：直观的看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路，提高解题的速 度，发现解题中的错误。 4、区间的概念区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间 的数轴表示 5、什么叫做映射什么叫做映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于 集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 “f:AB”为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:AB”

12、，给定一个集合 A 到 B 的映射，如 果 aA，bB，且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 说明说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应法则 f 是 确定的；对应法则有“方向性” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系 一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； （）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6、常

13、用的函数表示法及各自的优点常用的函数表示法及各自的优点： 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离 散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； 解析法：必须注明函数的定义域；图象法：描点法作图要注意：要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 列表 法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。注意注意：解析法：便于算出函数值。列表- 3 -法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值。 补充一补充一：分段函数 （参见课本 P24-25） 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式

14、不能写成几个不 同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变 量的取值情况。 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域 是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 补充二补充二：复合函数复合函数 如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为 f、g 的 复合函数。 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1) 7、函数单调性函数单调性 （1）增函数增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当

15、x11，且 * 当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数此时， 的 次方根用符号 表 示式子 叫做根式（radical） ，这里 叫做根指数（radical exponent） ， 叫做被开方数（radicand） 当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数 的正的 次方根用符号 表 示，负的 次方根用符号 表示正的 次方根与负的 次方根可以合并成 （ 0） 由此可得：负 数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。 注意：注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时， 2分数指数幂分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指 数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂 3实数指数幂的运算性质 （1） ； （2） ； （3） （二）指数函数及其性质指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function） ，其中 x 是自变量，函数 的定义域为 R 注意注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2、指数函数的图象和性质 a1 01 0a1 图象特征图象特征 函数性质函数性质