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1、1浅谈逻辑连接词“或与且”高中数学课本中的许多知识是存在内在联系的，我们老师在常规教学中,需要把这些存在于不同章节中的本质串联起来一起应用融会贯通。可使学生对数学的内涵加深认识,有利于学生对高中数学基本思想加深理解。下面我就简单来谈谈我在教学中对逻辑连接词“或与且”的理解，以及它们在不同章节中的应用。“或与且”在逻辑学中的定义：其实在高一数学的第一章中我们便学习了逻辑连接词“或与且” 。其中“或”是指若干事件中至少有一个发生；“且”是指若干事件同时发生。它们在本章节中的应用主要是连结简单命题合成复合命题并判断真假。其中复合命题“p 或q”为真的内涵是：简单命题 p、q 中至少一个为真（包含 p
2、 真 q 假，p 假 q 真，p 真 q 真，三种情况） 。复合命题“p 且 q”为真的内涵式是：简单命题 p、q 两个都为真（仅仅是 p 真 q 真，一种情况） 。有了逻辑连接词“或与且” ，我们就可以对复合命题进行分解，分拆成由“或与且”连结起来的若干个简单命题，再由对各个简单命题的真假判断汇总判断出原复合命题的真假。突出的优势在于对复杂问题的细化分拆，然后各个击破，再汇总。其实我们数学中很多复杂的大题也不过是由若干个小难点组成，我们也称之为综合题。而一旦我们能运用分解的思想把问题先分拆，就可以使问题细化、单一化，更快捷的解决问题。实质上就是“化整为零，2各个击破，再积零为整”的数学策略。
3、而在这里起到关键的分拆与合成的连结作用的就是“或与且” 。所以我们在解这类型综合题时应多采用“或与且”进行分析。“或与且”在集合运算中的应用：其实我们发现“或与且”就直接出现在集合运算的定义当中。A 并 B 的定义是：由 A 中的元素或 B中的元素组成的集合。A 交 B 的定义是：由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合。可以看到并集运算中的关键词“或” （A 交 B 也可理解为包含 A 发生 B 不发生，A 不发生 B 发生，A 发生 B 也发生，三种情况） ；交集运算中的关键词“公共” （可理解为满足 A 同时也满足B，体现“且”的内涵） 。在实际教学过程中总我们发现，学生对什么时候
4、该用并集，什么时候用交集很难区分好的，也是集合这章书中的重难点。尤其是在交并都用的分类讨论题中更容易混淆。我们看例子:例 1 解不等式2321xx解:如图所示:令01x， 1x，令032x，23x（1）当1x时,原不等式化为: 2)32() 1(xx解得: 2x，故无解（2） 当231x时，原不等式化为: 2)32(1xx解得: 0x，3故 230 x（3） 当23x时，原不等式化为: 2321xx解得: 6x，故 623 x综上，原不等式的解为60 xx分析:从例子中我们可以看到，在解题过程中不断的使用到集合的交并运算，但这些运算并不是显而易见的。学生做题的时候就很容易搞混淆，到底什么情况使
5、用交集，什么情况下用的是并集呢？我们来看，本题中的变量 x 是任意的，所以 x 可能小于-1，或属于-1 到3/2 之间，或大于 3/2，明显是用“或”来连结这 3 中情况。而如果我们反过来理解为既小于-1，又属于-1 到 3/2 之间，且大于 3/2 的“且”的连结的话会明显感觉到不合理了(不合逻辑)。所以它们的连接词是或而不是且，而对应于集合运算来看就是该用并而不是交。另外在分类（1）中，我们是在1x的前提下解不等式得: 2x，两者都要满足(即两命题都为真)才能得到 x 范围，此时两者则明显是“且”的内涵而不是“或” ，所以此时用的是交而不是并。可以看出，引入了“或与且” ，就相当于为分析
6、提供了一个有效的明显的抓手。让学生区分交并时有据可循，而不是凭空想，避免懵懵懂懂的混淆。“或与且”在排列组合中的应用：排列组合二项式定理的第一节就是学习分类计数和分步计数两大原理。首先在数学中能称为原理，4必定是这一个分支的基石。就像平面向量基本定理在平面向量中起到在作用一样，可能不会直接题目中，但它是每一道题目成立的大前提，渗透于其中。这两大计数原理在我们看来内涵也是逻辑学中的“或与且” 。分类计数原理定义的是若干种方法均能完成事件，强调的就是“或” 。分步计数原理定义的是若干步骤完成后事件才完成，强调的是“且” 。在具体解题分析中我们可多采用“或与且”的连结来加以区分是属于分类计数还是分步
7、计数。我们看例子:例子 2某市拟从 4个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度要启动的项目,则重点项目 A 和一般项这样目 B 至少有一个被选中的不同选法的种数是（ ）A15 B45 C60 D75解： 首先分成三类：第一类是既有 A 也有 B：第二类是有 A 无 B：第三类是无 A 有 B：所以 1 52 32 51 31 51 3CCCCCC15301560 故选 C 分析：拿到题目后我们发现 A 和 B 至少一个被选中的情况有 3 种，可以理解为：有 A 也有 B，或有 A 无 B，再或者无 A 有 B；而如果我们反过来理解为：有 A 也有 B，且有 A 无 B，再且无
8、A 有 B 的话会发现明显的不合逻辑。显然，于是我们可以清晰的发现这 3 种基本事件是“或”来连结用而不是“且” ，可以得出是该用分类计数原理不是分步。而每一类的内部，比如第一类要满足的是：必须有 A 而且也要有B，同时还要有另外一个非 A 的重5点项目和一个非 B 的一般项目。它们几个基本事件之间的连结显然是用“且”不是“或” ，所以此时用的是分步计数原理。所以本题中既有分步计数又有分类计数，我们在具体分析中要学会区分清楚，此时用“或与且”来区分是比较容易把握的。以上几个问题都是学生在解数学题中常遇到的疑难。我们把这些问题转化为或与且来理解就可以使其变得逻辑化,易于作出准确的判断,更容易找到突破。这几个知识点虽然是分布在我们数学课本中的不同章节中,但是其实质的内涵是相通的。我们老师就要的是把内涵挖掘出来,帮助学生学会把学过的知识一起融会贯通,而不是仅局限于在各自的本章节中应用。
