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1、1第第 32 讲讲 不等式解法及应用不等式解法及应用备注：备注：【高三数学一高三数学一轮轮复复习习必必备备精品精品共共 42 讲讲 全部免全部免费费 欢欢迎下迎下载载】一一【课标要求课标要求】1不等关系 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组） 的实际背景； 2一元二次不等式 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程； 通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系； 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图 3 二元一次不等式组与简单线性规划问题 从实际情境中抽象出二元一次不等式组； 了解二元一次不等式的几何意义，能
2、用平面区域表示二元一次不等式组； 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 二二【命题走向命题走向】分析近几年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节（如函数、 数列等）交汇。从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式以及线性规划等，解答题主要 考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用 预测 2010 年高考的命题趋势： 1结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答 题形式出现； 2以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察 考生阅读以及分析、解决问题的能力； 3在函数、不等式、数列、
3、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函 数、导数综合命题这一变化趋势； 4对含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因， 合理分类，不重不漏 三三【要点精讲要点精讲】1不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形” ，是研究数学的基本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。（1）同解不等式（(1)与同解；f xg x( )( )f xF xg xF x( )( )( )( )（2）与同解，与mf xg x0， ( )( )mf xmg x( )( )mf xg x
4、0， ( )( )同解；mf xmg x( )( )2（3）与同解）；f x g x( ) ( ) 0f xg xg x( )( )( ( )002一元一次不等式解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。情况分别解之。axbaaa分( )( )( )1020303一元二次不等式或分及情况分别解axbxca200()axbxca200()a 0a 0之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的 bac24 0 0 0 图象4分式不等式分式不等式的等价变形：0f(x)g(x)0，0)()( xgxf)()( xgxf。 0)(0)()( x
5、gxgxf5简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。解绝对值不等式的常用方法：讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|0)，3|x|ax2a2xa 或 x0)。一般地有：|f(x)|g(x)f(x)g (x)或 f(x)2 的解集为（ ）, 2),1(log, 2,221xxxttx(A)（1，2）（3，+） (B)（，+）10(C)（1，2） （ ，+） (D)（1，2）10解析：将（2）答案：C解法一：
6、作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和4，由图 46 可得 C 答案。45图 46 图 478解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选 C.（如图 4 7） 。 （3）C； 点评：特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有 效手段。 题型 3：含参数的不等式的求解问题 例 5 （1）设不等式 x22ax+a+20 的解集为 M，如果 M1，4 ，求实数 a 的取值 范围？（2）解关于 x 的不等式1(a1)。2) 1( xxa分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函 数之间的内在联
7、系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗 解析：（1）M1，4有两种情况：其一是 M=，此时0；其二是 M，此 时=0 或0，分三种情况计算 a 的取值范围 设 f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2) 当0 时，1a2，M=1，4 ； 当=0 时，a=1 或 2； 当 a=1 时 M=11，4 ；当 a=2 时，m=21，4 。 当0 时，a1 或 a2。 设方程 f(x)=0 的两根 x1，x2，且 x1x2，那么 M=x1，x2 ，M1，41x1x24， 0, 410)4(, 0) 1 (且且aff即，解得 2a， 210071803aaaaa或718
8、M1，4时，a 的取值范围是(1，)。718（2）原不等式可化为：0，2)2() 1( xaxa当 a1 时，原不等式与(x)(x2)0 同解。12 aa由于，2111211a aa 原不等式的解为(，)(2，+)。 12 aa当 a1 时，原不等式与(x)(x2) 0 同解。12 aa由于，21111a aa 若 a0，解集为(，2)；211211a aa 12 aa9若 a=0 时，解集为；211211a aa 若 0a1，解集为(2，)。211211a aa 12 aa综上所述：当 a1 时解集为(，)(2，+)；当 0a1 时，解集为(2，12 aa)；当 a=0 时，解集为；当 a0
9、 时，解集为(，2)。12 aa12 aa点评：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。本题主要涉及一元 二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想。 M=是 符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于 a 的 不等式要全面、合理，易出错例 6（1）（2009 湖南卷文）若0x ，则2xx的最小值为 .答案 222解析 0x Q22 2xx，当且仅当22xxx时取等号.（2）( (北京市北京市丰台区丰台区 20092009 年年 3 3 月高三统一检测理月高三统一检测理)已知)(xf，)(xg都是定义在R上的函数，且满
10、足以下条件：)(xf=xa)(xg（0, 0aa）；)(xg0；)()()()(xgxfxgxf。若25 ) 1() 1( ) 1 ( ) 1 (gf gf，则使1logxa成立的 x 的取值范围是A.（0，21）（2，+ ） B.（0，21） C.（，21）（2，+ ） D.（2，+ ）答案 B 题型 4：线性规划问题例 7（1）(2009 山东卷理)设 x，y 满足约束条件 0, 002063yxyxyx，若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的是最大值为 12，则23 ab的最小值为( ). A.625B.38C. 311D. 4答案 A10解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,
11、当直线 ax+by= z（a0，b0） 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时, 目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而23 ab=23 23131325()()26666abba abab,故选 A.【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准 确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求 23 ab的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.（2）2009 安徽卷理）若不等式组0 34 34x xy xy所表示的平面区域被
12、直线4 3ykx分为面积相等的两部分，则k的值是 A.7 3B. 3 7C.4 3D. 3 4答案 B解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由34 34xy xy 得 A（1，1），又 B（0，4），C（0，4 3）SABC=144(4) 1233 ，设ykx与34xy的交点为 D，则由12 23BCDSS ABC知1 2Dx ，5 2Dy 5147,2233kk选 A。 例 8（1）设函数设函数，若对于任意的，若对于任意的都有都有3( )31()f xaxxxR1 , 1x成立，则实数成立，则实数的值为的值为 0)(xfa【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若 x0，则不论取何值
13、，0 显然成a f x立；当 x0 即时， 331f xaxx0 可化为，1,1x 2331axx设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间 2331g xxx 43 1 2xgxx g x10,2上单调递减，因此，从而4；1,12 max142g xgaAxDyCOy=kx+4 311当 x0 即时， 331f xaxx0 可化为，1,0a 2331 xx 43 1 2xgxx0在区间上单调递增，因此，从而4，综上4 g x1,0 ma14ng xgaa【答案】4（2）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ 2, 02, 02xyxyx）(A) (B) (C) (D)21 23
14、81 89（3）已知点 P（x，y）的坐标满足条件点 O 为坐标原点，那么|PO |的最小4 , 1,xy yx y 值等于，最大值等于。_解析：（1）约束条件为，选 C；121122 00a xa ycb xb ycxy （2）A；（3）、。210点评：线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出 现 题型 5：不等式的应用例 9（2009 四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨， B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨， B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是A. 12 万元
