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1、 数学（理工类）试题参考答案 第 1 页（共 17 页）2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1方程26130xx的一个根是 A32i B32i C23i D23i 考点分析：考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根. 难易度难易度：解析：解析：根据复数求根公式：26613 4x322i ，所以方程的一个根为32i 答案为 A.2命题“0xRQ，3 0x Q”的否定是A0xRQ，3 0x Q B0xRQ，3 0x QCx RQ，3x Q Dx
2、 RQ，3x Q考点分析：考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考 察对命题的否定和否命题的区别.难易度难易度：解析：解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否 定，然后把结论否定。因此选 D3已知二次函数( )yf x的图象如图所示， 则它与x轴所围图形的面积为A2 5B4 3C3 2D 2考点分析：考点分析：本题考察利用定积分求面积. 俯视图侧视图2正视图第 4 题图424211yxO第 3 题 图1 11 1数学（理工类）试题参考答案 第 2 页（共 17 页）难易度难易度：解析：解析：根据图像可得： 2( )1yf xx ，再由定积分的几何意义，可求得面积为1231 1114(1)()33S
3、xdxxx .4已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A8 3B3 C10 3D6考点分析：考点分析：本题考察空间几何体的三视图.难易度：难易度： 解析：解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一 个 1/2 的圆柱体，底面圆的半径为 1，圆柱体的高为 6，则知所求几何体体积为原体积的一 半为3.选 B.5设aZ，且013a，若201251a能被13 整除，则a A0 B1 C11 D12考点分析：考点分析：本题考察二项展开式的系数.难易度：难易度：解析：解析：由于51=52-1，152.5252) 152(12011 201220111 20122
4、0120 20122012CCC,又由于 13|52,所以只需 13|1+a，0a13,所以 a=12 选 D.6设, , , , ,a b c x y z是正数，且22210abc，22240xyz，20axbycz，则abc xyzA1 4B1 3数学（理工类）试题参考答案 第 3 页（共 17 页）C1 2D3 4考点分析：考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度：难易度：解析：解析：由于222222)()(2czbyaxzyxcba 等号成立当且仅当, tzc yb xa则 a=t x b=t y c=t z ，10)(2222zyxt所以由题知2/1t,又2/1
5、, tzyxcba zyxcba zc yb xa所以，答案选 C.7定义在(,0)(0,)U上的函数( )f x，如果对于任意给定的等比数列na， ()nf a仍是等比数列，则称( )f x为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)U上的如下函数：2( )f xx； ( )2xf x ； ( )|f xx； ( )ln |f xx.则其中是“保等比数列函数”的( )f x的序号为 A B C D 考点分析：考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度难易度：解析：解析：等比数列性质，2 12nnnaaa， 1222 12 22 2nnnnnnafaaaafaf； 122 2122
6、2222 naaaaa nnafafafnnnnn； 122122nnnnnnafaaaafaf； 122 122lnlnlnnnnnnnafaaaafaf.选 C8如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是数学（理工类）试题参考答案 第 4 页（共 17 页）A21 B11 2C2 D1 考点分析：考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度难易度：解析：解析：令1OA，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S，围成 OC 为2S，作对称轴 OD，则过 C 点。2S即为以 OA 为直径
7、的半圆面积减去三角形 OAC 的面积，82 21 21 21 21 2122S。在扇形 OAD 中21S为扇形面积减去三角形 OAC 面积和22S，162 281181 2221SS，42 21SS，扇形 OAB 面积41S，选 A.9函数2( )cosf xxx在区间0,4上的零点个数为A4 B5 C6 D7考点分析：考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.难易度难易度：解析：解析：0)(xf，则0x或0cos2x，Zkkx,22，又 4 , 0x，4 , 3 , 2 , 1 , 0k所以共有 6 个解.选 C. 10我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，
8、九而一， 所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式3169dV. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 =3.14159L判断，下列近似公式中最精确的一个是A3169dV B32dV C3300 157dV D321 11dV考点分析：考点分析：考察球的体积公式以及估算.难易度：难易度：解析：解析：第 8 题图数学（理工类）试题参考答案 第 5 页（共 17 页）33466b6 9( )d,=3.37532b16 6 16 1576 11=3=3.14,=3.142857230021dVaVAaBD由，得设选项中常数为则；中代入得，中代入得，
9、C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（1114 题）11设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若()()abc abcab，则角C 考点分析：考点分析：考察余弦定理的运用.难易度：难易度：解析：解析：222222a=-a-ab12cos=,2223abcbabcCCabab 由（+b-c）(a+b-c)=ab, 得到根据余弦定理故12阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的
10、结果s .考点分析：考点分析：本题考查程序框图.第 12 题 图数学（理工类）试题参考答案 第 6 页（共 17 页）难易度难易度： 解析：解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 第一圈循环：当 n=1 时，得 s=1，a=3. 第二圈循环: 当 n=2 时，得 s=4，a=5 第三圈循环：当 n=3 时，得 s=9，a=7 此时 n=3，不再循环，所以解 s=9 . 13回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如 22，121，3443，94249 等显然 2 位回文数有9 个：11，22，33，993 位回文数有90 个：101，111，121，191，202，999则（）4 位
11、回文数有 个；（）21()nnN位回文数有 个考点分析：考点分析：本题考查排列、组合的应用.难易度难易度： 解析：解析：（）4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为 0，有 9（19）种情况，第二位有 10（09）种情况，所以 4 位回文数有90109种。答案：90（）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同， 所以可以算出 2n+2 位回文数的个数。2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况，第一位不能为 0 有 9 种情况，后面 n 项每项有 10 种情况，所以个数为n109.法二、可以看出 2 位数有 9 个回文
12、数，3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,99” ，因此四位数的回文数有90 个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加09 这十个数，因此,则答案为n109.14如图，双曲线22221 ( ,0)xya bab的两顶点为1A，2A，虚轴两端点为1B，2B，两焦点为1F，2F. 若以12A A为直径的圆内切于菱形1122FB F B，切点分别为,A B C D. 则A1 A2 yB2B1AO BCDF1 F2 x数学（理工类）试题参考答案 第 7 页（共 17 页）（）双曲线的离心率e ；（）菱形1122FB F
13、B的面积1S与矩形ABCD的面积2S的比值12S S .考点分析：考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的 面积计算.难易度难易度：解析：解析：（）由于以12A A为直径的圆内切于菱形1122FB F B，因此点O到直线22BF的距离为a，又由于虚轴两端点为1B，2B，因此2OB的长为b，那么在22OBF中，由三角形的面积公式知，2 22)(21|21 21cbaFBabc，又由双曲线中存在关系222bac联立可得出222) 1(ee，根据), 1 ( e解出;215 e（）设22OBF,很显然知道222AOBOAF,因此)2sin(22 2aS .在22OBF中求得,cos,sin2222cbccbb 故222 2 24cossin4cbbcaaS；菱形1122FB F B的面积bcS21，再根据第一问中求得的e值可以解出25221SS.（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第 15 题作答结果计分.） 15 （选修 4-1：几何证明选讲） 如图，点 D 在Oe的弦 AB 上移动，4AB ，连接 OD，过点 D 作OD的垂线交Oe于点 C，则 CD
