初中二次函数知识点详解

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1、1二次函数知识点详解二次函数知识点详解知识点一、平面直角坐标系知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵

2、坐标在后，中间有“， ”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。ba 知识点二、不同位置的点的坐标的特征知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y)在第一象限0, 0yx点 P(x,y)在第二象限0, 0yx点 P(x,y)在第三象限0, 0yx点 P(x,y)在第四象限0, 0yx2、坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在 x 轴上，x 为任意实数0 y点 P(x,y)在 y 轴上，y 为任意实数0 x点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）3

3、、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。25、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点 P 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)

4、到 x 轴的距离等于y（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x （3 3）点）点 P(x,y)P(x,y)到原点的距离等于到原点的距离等于22yx 知识点三、函数及其相关概念知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点

5、 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法 叫做解析法。 （2）列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四，正比例函数和一次函数知识点四，正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果（k

6、，b 是常数，k0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。bkxy特别地，当一次函数中的 b 为 0 时，（k 为常数，k0） 。这时，y 叫做 x 的正比bkxykxy 3例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点bkxykxy （0，0）的直线。k 的符 号b 的符号函数图像图像特征b0y0 x图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。k0b0y0 x图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小K0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； （2）当

7、 k0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k0k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0； 当 k0a（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=，顶点坐标是ab 2（，） ；ab 2abac 442（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而减小，简ab 2记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x=时，y 有最ab 2大值，abacy442最大值2、二次函数中，的含义：)0,(2acbacbxaxy是常数，cb、a表示开口方向：0 时，抛物线开口向上aa0 时，图像与

8、x 轴有两个交点； 当=0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 【 (k0)【 【 【 |k|【 【 【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2平移规律平移规律在原有函数的基础上在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正右移，负左移；值正上移，负下移值正上移，负下移”hk 函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有 很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆特别记忆-同左上加同左上加 异右下减异右下减 ( (必须理

9、解记忆必须理解记忆) )说明 函数中 ab 值同号，图像顶点在 y 轴左侧同左同左，a b 值异号，图像顶点必在 Y 轴右侧异异右右向左向上移动为加左上加左上加，向右向下移动为减右下减右下减3、直线斜率： b为直线在y轴上的截距4、直线方程： 1212tanxxyyk4 4、两点两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: )()(tan1 1212 1xxxxxyybxbkxyy此公式有多种变形此公式有多种变形 牢记牢记点斜点斜 )(11xxkxyy斜截斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0)10截距截距 由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy1

10、by ax牢记牢记 口诀口诀 -两点斜截距两点斜截距-两点两点 点斜点斜 斜截斜截 截距截距5、设两条直线分别为，： ： 若，则有1l11yk xb2l22yk xb12/ll且。 若1212/llkk12bb 12121llkk 6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 1) 1(2002200 kbykxkbykxd7 7、抛物线抛物线中，中， a a b b c,c,的作用的作用cbxaxy2（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.a2axy a（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy2，故：时，对称轴为轴；（

11、即、同号）时，对称轴在轴左侧；abx20by0ababy（即、异号）时，对称轴在轴右侧. 口诀口诀 - 同左同左 异右异右0ababy（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.ccbxaxy2y当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：0xcy cbxaxy2yc，抛物线经过原点;0c,与轴交于正半轴；0cy,与轴交于负半轴.0cy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .y0ab11十一，中考点击十一，中考点击考点分析：内容要求1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系 3、一次函数的概念和图像

12、 4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图 5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用 6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次 函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的 形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占 2%左右一 次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查， 占 5%左右反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联 系，突出应用

13、价值，36 分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题 出现在试卷中要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会 用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和 对称轴，并能解决实际问题会求一元二次方程的近似值分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计 2009 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量 与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理 解同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用十二，初中数学助记口诀十二，初中数学助记口诀

14、( (函数部分函数部分) )特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后； X 轴上 y 为 0,x 为 0 在 Y 轴。12对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X 轴对称 y 相反,Y 轴对称,x 前面添负号；原点 对称最好记,横纵坐标变符号。 自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成 y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成 y=a（x+h）2+k 的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍, 同左上加

15、同左上加 异右下减异右下减一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线； 两个系数 k 与 b,作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b 与 Y 轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减 y 增减；k 为负来左下展,变化规律正相反；k 的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现； 开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考 线，左同右异中为 0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函 数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。 反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k 为正,图在一、三(象)限,k 为 负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。图在二、四正相反,两个分支分别添;线越 长越近轴,永远与轴不沾边。 正比例函数是直线，图象一定过圆点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负 k 经过二四限，x 增 大 y 在减，上下平移 k 不变，由引得到一次线，向上加 b 向下减，图象经过三个限，两点决定