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1、等价类在无穷小分析中的应用等价类在无穷小分析中的应用第 n 卷Vo 卜 11第 2 期N0.2周口师专学报(自然科学版)Jo 竺 rna。fZhoukouleaehers,College(NaturalSeienee)1994 年 6 月Jun.1994等价类在无穷小分析中的应用吴景珠(数学系)摘要本文引进等价类的定义,阐述等价类在无穷小分析中关于求极限及计算数学上的应用。关键词关系,等价关系,分类,等价类定义 1 设 S 是一非空集合.在 S 中任意两个元素之间存在(或不存在)某种属性R,若满足下面的条件:对 S 中任一对有序的元素 a,b 或具备这种属性(记作 aRb)或不具备这种属性(记
2、作 a 又 b)这两者必有一种成立且只有一种成立。称属性 R 是集合 S 上的一个二元关系,简称关系。例如:实数集上的大小关系。整数集上的整除关系都是二元关系。定义 2 集合 S 的一个二元关系 R 若具有以下性质,则称之为 S 的一个等价关系(记作一)(1)自反性 aRa(a 是 S 中任一元素)(2)对称性若 aRb,则 bRa(a,b 是 S 中的元素)。(3)传递性若 aRb,bRe,则 aRe。(其中 a,b,e 是 S 中元素)。例如平面中直线的平行关系就是等价关系。定义:集合 s 的一个分类且(s)指的是由 s 的非空子集组成的一个集合,满足(1)U=SAen(s)(助 A,AZ
3、 任且(s),若 Al 笋 A:,则 A,门 AZ 一必.并称且(s)中的元素为类。定义 4 设一是集合 S 的一个等价关系,Va 任 S,取 S 的子集a一x任 sx 一 a。称a为由元素 a 确定的等价类。a 称为代表元。记 Af(x)1imf(x)O。葱丹 QB=毛 g(x)1img(二)O。定理证明A 中存在等价关系A 非空事实上,辣 x 一 O,所以 x 任 A.收稿日期:94 一 01 一 0856_一-一一一一-一-一-一.-.口等价无穷小就是 A 中的一个等价关系。事实上(1)Vf(x)任 A,因以 f(x)一 f(x)。l;m 塑=百乌百 t(x)所(2若辣舞-11不兀石万丁
4、111】1 一气尸弋x09 弋 X)一、了、一、,矛1 上一、J 一,洲一 z,一声 r、lim 印一一 g(x)f(x)1im 印贝所以 g(x)f(x).其中 f(x)与 g(x)是 A 中元素。3,若辣珊一 l,辣黯一,lim 印、 、了、11lim 印。,.,.f(x),.f(x)L,只组 11mi 二之二丈=llm 二 7:芍.二弓011、入沪 x,09人 jg(x)h(x)旦全旦h(x)故等价无穷小是 A 上的一个等价关系。这个等价关系将 A 分类,分类的结果是有意义的,下面就着重谈两点:l 利用同一类中的某一元素代换函数中与之等价的元素可以简便出数极限的运算。例 1解:因求 li
5、mx 斗 Oarctgx5im4xaretgx,sin4x 任 A 又因 aretgx 任x,sin4xe4x1 一 4一一x 一 4xlim 印一一所以 limarctgxsin4x例 2 求 lim又分 O了 xZ 十 x+1 一 1解:1im盆弓 0丫 xZ+x+1 一 1lim工弓 0xZ+x+1 一 lZx(了 x 名+x+1+1)二 1lmx 琦 O例 3xZ+xZx(丫 x,+x+1+1)求 1im(i+sinx)奋l二二二一 4解:因。inx 任x】,所以 lim(i+sinx 片一 lim(i+x 片=ex 分 lx 分 O说明:1o 对于集合 B 有与 A 同样的结论,这里
6、不再赘述。只举一例说明问题。例 4解:因求 limx 峥 15inZ(x 一 l)xZ 一 1sinZ(x 一 1)任(x 一 1),所以 limx 弓 lsinZ(x 一 1)xZ 一 1limx 弓 1(x 一 1)2xZ 一 1lim 盆分 Ix 一 1x 十 120 形式上相同,但不是同一等价类中的元素不能代替。例 5 求 lim(x+e!)备x 弓 O先看下面的解法:解 lim(x+e)奋lim(x+i)奋x 弓 O上面的解法是错误的,这里使用的看似与上几例类同的方法,实质上是错误的。原因是 e,与 l 既不是 A 中的元素,又不是 B 中的元素更谈不上是等价无穷小。正确的解法如一5
7、7-下:解Zx)六 ”1irn(x+e)奋lim(1+x+e 一 1)奋=lim(1+x+x)奋1im(l+Zx)x 冲 D奋=lim(1+二 eZ等价类在计算数学上的应用。在数学计算中,近似计算的方法很多,作为等价类的一个应用,这里简单谈一点。当 x很小时,可以用等价类中的元素近似代替。计算 tgzo 一 “因 tgx 任x,所以 tglo 一 ”七 10 一 “计算 sin1020因 5inx。:x:,所以in 命、汤11 勺白解例例解例 3 计算 In1+(0.0001),解因 In(l+xZ)任xZ,所以 In 仁 l+(0.0001) 、仁 0.0001】,=10一说明:通过上几例说
8、明利用同一等价类中的元素代替进行近似计算时,选择代表元x“(n 二。 、l、2.N),从而使较复杂的运算(三角、反三角、对数、指数)转化成较简单的幂运算,这样运算起来方便、快捷。(责任编辑张富林)参考文献谢帮杰著、抽象代数学.上海科技出版社聂灵绍著.代数学引论.高等教育出版社刘玉琏著.数学分析讲义.高等教育出版社第 n 卷Vo 卜 11第 2 期N0.2周口师专学报(自然科学版)Jo 竺 rna。fZhoukouleaehers,College(NaturalSeienee)1994 年 6 月Jun.1994等价类在无穷小分析中的应用吴景珠(数学系)摘要本文引进等价类的定义,阐述等价类在无穷
9、小分析中关于求极限及计算数学上的应用。关键词关系,等价关系,分类,等价类定义 1 设 S 是一非空集合.在 S 中任意两个元素之间存在(或不存在)某种属性R,若满足下面的条件:对 S 中任一对有序的元素 a,b 或具备这种属性(记作 aRb)或不具备这种属性(记作 a 又 b)这两者必有一种成立且只有一种成立。称属性 R 是集合 S 上的一个二元关系,简称关系。例如:实数集上的大小关系。整数集上的整除关系都是二元关系。定义 2 集合 S 的一个二元关系 R 若具有以下性质,则称之为 S 的一个等价关系(记作一)(1)自反性 aRa(a 是 S 中任一元素)(2)对称性若 aRb,则 bRa(a
10、,b 是 S 中的元素)。(3)传递性若 aRb,bRe,则 aRe。(其中 a,b,e 是 S 中元素)。例如平面中直线的平行关系就是等价关系。定义:集合 s 的一个分类且(s)指的是由 s 的非空子集组成的一个集合,满足(1)U=SAen(s)(助 A,AZ 任且(s),若 Al 笋 A:,则 A,门 AZ 一必.并称且(s)中的元素为类。定义 4 设一是集合 S 的一个等价关系,Va 任 S,取 S 的子集a一x任 sx 一 a。称a为由元素 a 确定的等价类。a 称为代表元。记 Af(x)1imf(x)O。葱丹 QB=毛 g(x)1img(二)O。定理证明A 中存在等价关系A 非空事实
11、上,辣 x 一 O,所以 x 任 A.收稿日期:94 一 01 一 0856_一-一一一一-一-一-一.-.口等价无穷小就是 A 中的一个等价关系。事实上(1)Vf(x)任 A,因以 f(x)一 f(x)。l;m 塑=百乌百 t(x)所(2若辣舞-11不兀石万丁111】1 一气尸弋x09 弋 X)一、了、一、,矛1 上一、J 一,洲一 z,一声 r、lim 印一一 g(x)f(x)1im 印贝所以 g(x)f(x).其中 f(x)与 g(x)是 A 中元素。3,若辣珊一 l,辣黯一,lim 印、 、了、11lim 印。,.,.f(x),.f(x)L,只组 11mi 二之二丈=llm 二 7:芍
12、.二弓011、入沪 x,09人 jg(x)h(x)旦全旦h(x)故等价无穷小是 A 上的一个等价关系。这个等价关系将 A 分类,分类的结果是有意义的,下面就着重谈两点:l 利用同一类中的某一元素代换函数中与之等价的元素可以简便出数极限的运算。例 1解:因求 limx 斗 Oarctgx5im4xaretgx,sin4x 任 A 又因 aretgx 任x,sin4xe4x1 一 4一一x 一 4xlim 印一一所以 limarctgxsin4x例 2 求 lim又分 O了 xZ 十 x+1 一 1解:1im盆弓 0丫 xZ+x+1 一 1lim工弓 0xZ+x+1 一 lZx(了 x 名+x+1
13、+1)二 1lmx 琦 O例 3xZ+xZx(丫 x,+x+1+1)求 1im(i+sinx)奋l二二二一 4解:因。inx 任x】,所以 lim(i+sinx 片一 lim(i+x 片=ex 分 lx 分 O说明:1o 对于集合 B 有与 A 同样的结论,这里不再赘述。只举一例说明问题。例 4解:因求 limx 峥 15inZ(x 一 l)xZ 一 1sinZ(x 一 1)任(x 一 1),所以 limx 弓 lsinZ(x 一 1)xZ 一 1limx 弓 1(x 一 1)2xZ 一 1lim 盆分 Ix 一 1x 十 120 形式上相同,但不是同一等价类中的元素不能代替。例 5 求 li
14、m(x+e!)备x 弓 O先看下面的解法:解 lim(x+e)奋lim(x+i)奋x 弓 O上面的解法是错误的,这里使用的看似与上几例类同的方法,实质上是错误的。原因是 e,与 l 既不是 A 中的元素,又不是 B 中的元素更谈不上是等价无穷小。正确的解法如一57-下:解Zx)六 ”1irn(x+e)奋lim(1+x+e 一 1)奋=lim(1+x+x)奋1im(l+Zx)x 冲 D奋=lim(1+二 eZ等价类在计算数学上的应用。在数学计算中,近似计算的方法很多,作为等价类的一个应用,这里简单谈一点。当 x很小时,可以用等价类中的元素近似代替。计算 tgzo 一 “因 tgx 任x,所以 tglo 一 ”七 10 一 “计算 sin1020因 5inx。:x:,所以in 命、汤11 勺白解例例解例 3 计算 In1+(0.0001),解因 In(l+xZ)任xZ,所以 In 仁 l+(0.0001) 、仁 0.0001】,=10一说明:通过上几例说明利用同一等价类中的元素代替进行近似计算时,选择代表元x“(n 二。 、l、2.N),从而使较复杂的运算(三角、反三角、对数、指数)转化成较简单的幂运算,这样运算起来方便、快捷。(责任编辑张富林)参考文献谢帮杰著、抽象代数学.上海科技出版社聂灵绍著.代数学引论.高等教育出版社刘玉琏著.数学分析讲义.高等教育出版社
