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1、1如何证明圆的切线如何证明圆的切线证明直线是圆的切线，通常有的两种方法：一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径【例 1】如图 1，已知 AB 为O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，BDOB，点 C 在圆上，CAB30求证：DC 是O 的切线思路：要想证明 DC 是O 的切线，只要我们连接 OC，证明OCD90 即可证明：连接 OC，BCAB 为O 的直径，ACB90CAB30，BCABOB21BDOB，BCODOCD9021DC 是O 的切线【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直
2、于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线本题在证明OCD90 时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求OCD90二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径【例 2】如图 2，已知 OC 平分AOB，D 是 OC 上任意一点，D 与OA 相切于点 E求证：OB 与D 相切思路：连接 DE，过点 D 作 DFOB 于点 F，证明 DEDF 即可，这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得请同学们写出证明过程【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接
3、出半径同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性【例 3】如图 3，已知 AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过 C 点图 1OABCD图 3OABCD231图 2OABCED2的切线互相垂直，垂足为 D求证：AC 平分DAB思路：利用圆的切线的性质与圆的切线垂直于过切点的半径证明：连接 OCCD 是O 的切线，OCCDADCD，OCAD12OCOA，1323AC 平分DAB【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线【例 4】如图 4，已知 AB 为O
4、 的直径，过点 B 作O 的切线 BC，连接OC，弦 ADOC求证：CD 是O 的切线思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理欲证明 CD 是O 的切线，只要证明ODC90 即可证明：连接 ODOCAD，13，24OAOD，1234又OBOD，OCOC，OBCODCOBCODCBC 是O 的切线，OBC90ODC90DC 是O 的切线【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识本题若作 ODCD，就判断出了 CD 与O 相切，这是错误的这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的OABCD图 42 341
