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1、习题习题 111111-1直角三角形ABC的A点上，有电荷C108 . 19 1q，B点上有电荷 C108 . 49 2q，试求C点的电场强度(设0.04mBC ，0.03mAC )。解：1q在 C 点产生的场强：1 12 04ACqEirvv，2q在 C 点产生的场强：2 22 04BCqEjrvv，C点的电场强度：44 122.7 101.8 10EEEijvvvvv ；C点的合场强：224 123.24 10VEEEm，方向如图：1.8arctan33.733 422.7oo 。11-2用细的塑料棒弯成半径为cm50的圆环，两端间空隙为cm2，电量为 C1012. 39的正电荷均匀分布在
2、棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。 解：棒长为23.12lrdm，电荷线密度：911.0 10qC ml可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为 0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去md02. 0长的带电棒在该点产生的场强，即所 求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。 解法 1：利用微元积分：2 01cos4OxRddER ，2 000cos2sin2444OdEdRRR 10.72V m； 解法 2：直接利用点电荷场强公式：由于dr，该小段可看成点电荷：112.0 10qdC ，则圆心处场强：11 91 22 02.0 109.0 100.
3、724(0.5)OqEV mR 。 方向由圆心指向缝隙处。11-3将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分 之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强。解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。对于半无限长导线A在O点的场强：有：00(coscos)42(sinsin)42AxAyERER 对于半无限长导线B在O点的场强：jviv2cmORx xyEv有：00(sinsin)42(coscos)42BxB yERER 对于AB圆弧在O点的场强：有：2 0002 000cos(sinsin)442sin(coscos)442ABxAB yEdRREdRR 总场强：
4、04OxER ，04O yER ，得：0()4OEijR vvv。或写成场强：2202 4OxO yEEER ，方向45o。11-4一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为，求环心 处O点的场强 E。解：电荷元 dq 产生的场为：2 04d qd ER ；根据对称性有：0ydE ，则：200sinsin4xRdEdEdER 02R ，方向沿x轴正向。即：02EiR vv。 11-5带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为0sin，式中0为一常数，为半径R与x轴 所成的夹角，如图所示试求环心O处的电场强度。解：如图，0 2 00sin44ddldERR ， cossinx
5、ydEdEdEdE考虑到对称性，有：0xE；2 00000000sin(1 cos2 )sin4428yddEdEdERRR ， 方向沿y轴负向。11-6一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心O处的电场强度。解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d lRd，所带电荷： 2dqr d l 。oRXYddqEdr利用例 11-3 结论，有：33 222222 0024()4()xdqrxdldE xrxr 3222 02cossin4( sin)(cos) RRRddE RR ，化简计算得：20001sin2224Ed ，04Ei vv。11-7图示一厚度为d的“无限大”均
6、匀带电平板，电荷体密度为。求板 内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即xE 图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板)。解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S为高斯面，当2dx 时，由12 SE dSESvv和2qxS，有：0xE ；当2dx 时，由22 SE dSESvv和2qdS，有：02dE 。图像见右。 11-8在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如图所示)，平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量. 解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为
7、r，有22Rdr， 球冠面一条微元同心圆带面积为：2sindSrrd球冠面的面积：200cos2sin2cosd rSrrdr 22(1)drr 】球面面积为：24Sr球面，通过闭合球面的电通量为：0q 闭合球面 ，由：SS球冠球面球面球冠，22001(1)(1)22dqqd rRd 球冠 。11-9在半径为 R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为 ，求圆柱体内、外 的场强分布，并作 Er 关系曲线。解：由高斯定律01iSSE dSqvv 内，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r，长为l的高斯 面。（1）当rR时，202r lrl E ，有02Er ； xOr02d xEv02d 2d 2
8、dOdxOrsinr（2）当rR时，202R lrl E ，则：202R rE ；即：020()2()2rrRERrRr ； 图见右。11-10半径为1R和2R（21RR ）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量和 ，试求：（1）1Rr ；（2）21RrR；（3）2Rr 处各点的场强。解：利用高斯定律：01iSSE dSqvv 内。（1）1rR时，高斯面内不包括电荷，所以：10E ；（2）12RrR时，利用高斯定律及对称性，有：2 02lrl E ，则：2 02Er ；（3）2rR时，利用高斯定律及对称性，有：320rlE，则：30E ；即：112 02020ErRErRrRrErRE v
9、vv 。11-11一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O，两球心间距离 dOO，如图所示。求：（1）在球形空腔内，球心O处的电场强度0E；（2）在球体内 P 点处的电场强度E，设O、O、P三点在同一直径上，且dOP 。解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为的大球和带有电荷体密度为的小 球的合成。（1）以O为圆心，过O点作一个半径为d的高斯面，根据高斯定理有：1304 3SE dSdvv0 03dE ，方向从O指向O； （2）过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有：1304 3SE dSdvv1 03PdE
10、 ，方向从O指向P， 过P点以O为圆心，作一个半径为d2的高斯面。根据高斯定理有：2304 3SE dSr vv322 03PrEd ，ErR02R o1232 0()34PPrEEEdd ，方向从O指向P。11-12设真空中静电场Ev 的分布为Ecxivv ，式中c为常量，求空间电荷的分布。 解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，有：0SE d ScxSvv由高斯定理：01SSE d Sqvv 内，设空间电荷的密度为( )x，有：00 0 0( )xxSdx cxS 00000( )xxx dxcdx，可见( )x为常数0c。11-13如图所示，一锥顶角为的圆台，上下底面半径分别为1R
11、和2R，在它的侧面上均 匀带电，电荷面密度为，求顶点O的电势(以无穷远处为电势零点) 解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：tan2rx ，环面圆宽：cos2d xd l22tan2cos2d xdSr d lx，利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上0x处电势的表达式：22001 4qU rx 环 ，有：22002tan2cos12tan422( tan)2d xxdUd x xx ，考虑到圆台上底的坐标为：11cot2xR ，22cot2xR ，U 210tan22xxd x 21cot2cot02tan22RRd x 210() 2RR 。
12、11-14电荷量 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内，试求：离球心r处（rR）P 点的电势。解：利用高斯定律：01SSE dSqvv 内可求电场的分布。（1）rR时，3 2 3 04Qrr ER内 ；有：3 04Q rER 内 ；rxcos2dxdlyxzSo0xPrRPo（2）rR时，204Qr E外 ；有：2 04QEr外 ；离球心r处（rR）的电势：RrrRUEdrEdr外内，即：32 0044RrrRQrQUdrdrRr23 003 88QQr RR 。11-15图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面半径为1R，外表面半径为2R设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。
13、解：当1rR时，因高斯面内不包围电荷，有：10E ，当12RrR时，有：2 03 132 03 1323)( 4)(34rRr rRr E ，当2rR时，有：2 03 13 2 2 03 13 233)( 4)(34rRR rRR E ， 以无穷远处为电势零点，有：21223RRRUEd rE d rvvvv2RdrrRRdrrRrRR2 03 13 2 2 03 133)( 3)(21 )(22 12 2 0RR 。11-16电荷以相同的面密度分布在半径为110rcm和220rcm的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为V3000U。 （1）求电荷面密度；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度为多少？（21212 0mNC1085. 8） 解：（1）当1rr时，因高斯面内不包围电荷，有：10E ，当12rrr时，利用高斯定理可求得：2 1 22 0rEr ，当2rr时，可求得：22 12 32 0()rrEr ，212023rrrUEd rEd rvvvv212222 112 22 00()rrrrrrd rd rrr)(21 0rr 那么：29 312210
