《函数的对称性_周期性及其关系在抽象函数问题中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的对称性_周期性及其关系在抽象函数问题中的应用（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的对称性函数的对称性_ _周期性及其关系在抽象函数问题中的应用周期性及其关系在抽象函数问题中的应用数学 数比较多，当然也有取以其他数为底的对数的，需要具体问题具体分析； 三是并非所有的与指数有关的问题都需要对数化，对数化只不过是我们寻找解题思路时的手段之一，即指数问题对数化是解决指数问题的策略之一. 筲巩固练习1. 若 3lg2=2lgx，则 x=_. 2. 若 2x=3y=5z，且 x，y，z都是正数，则 2x，3y，5z 从小到大依次为_. 3. 已知数列an中，a1=2，an=2 an-1 %姨（n2，n N*） ，求数列an的通项公式. 4. 已知 a，bR，bae，求证：abba
2、 （e 为自然对数的底）. 筲参考答案1. 3. 2. 3y2x5z. 3. an=22- 12 n-1. 提示：log2an=1+ 12 log2an-1，所以 log2an-2= 12（log2a n-1-2）. 4. 要证 abba，只需证 lnablnba，即证 blna-alnb0. 设 f（x）=xlna-alnx（xae） ，则 f （x）=lna- ax . 因为 xae，所以 lna1，ax 1，所以 f （x）0，因而 f（x）在（e，+）上递增. 因为 ba，所以 f（b）f（a） ，故 blna-alnbalnaalna=0，即 blnaalnb，所以 abba 成立.
3、 一、函数对称性的充要条件函数 f（x）图像关于点P（a，0）对称%f（x）=- f（2a- x）或 f（a+x）=- f（a- x） f（x）是奇函数%f（x）=- f（- x） 对称性函数 f（x）图像关于直线 x=a 对称f（x）是偶函数函数 f（x）图像关于点P（a，b）对称代数关系式%f（x）=f（2a- x）或 f（a+x）=f（a- x） %f（x）=f（- x） %f（x）=2b- f（2a- x）或 f（a+x）=2bf（a- x） 注这里代数关系式中两个“f ” （对应法则）内的“x” （变量）前的正负号相异，如果把两个“f”放在“=”的两边，则“f ”前的正负号也相异.因
4、为对称性关乎翻转. 思考 1 满足 f（x-a）=f（a-x）的函数 f（x）的图像的对称性如何？（关于 y 轴对称.） 思考 2 满足 f（a+x）=f（b-x）的函数 f（x）的图像的对称性如何？（关于直线 x= a+b 2 对称.） 二、函数周期性的充要条件和充分条件1. 函数 f（x）以实数 a（a0）为周期圳 f（x+a）= f（x）圳 f x+ a2 =f x- a2 . 2. f x+ a2 =-f x- a2 圳 f（x+a）=-f（x） （实数 a 0）圯函数 f（x）以 2a 为周期. 3. f（x+a）= 1 f（x）（实数 a0）圯函数 f（x）以 2a 为周期.4.
5、f（x+a）=- 1 f（x）（实数 a0）圯函数 f（x）以 2a 为周期.注这里代数关系式中两个“f ”内的“x”前的正负号相相同.因为周期性关乎平移. 在函数问题中的应用函数的性、性及其关系.对.称.周.期.抽.象怙悛 专题指导25数学 三、对称性与周期性的关系定理 1 若定义在 R 上的函数 f（x）的图像关于直线 x=a 和 x=b（ab）对称，则 f（x）是周期函数，且 2|a-b| 是它的一个周期. 推论 1 若函数 f（x）满足 f（a-x）=f（a+x）及 f（b-x） =f（b+x） （ab） ，则 f（x）是以 2|a-b|为周期的周期函数. 定理 2 若定义在 R 上的
6、函数 f（x）的图像关于点（a，0）和直线 x=b（ab）对称，则 f（x）是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 推论 2 若函数 f（x）满足 f（a+x）=-f（a-x）及 f（bx）=f（b+x） （ab） ，则 f（x）是以 4|a-b|为周期的周期函数.定理 3 若定义在 R 上的函数 f（x）的图像关于点（a，y 誗0）和（b，y 誗0） （ab）对称，则 f（x）是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. 推论 3 若函数 f（x）满足 f（a-x）+f（a+x）=2y 誗0及f（b-x）+f（b+x）=2y 誗0 （ab） ，则 f（x）是以 2|a-b|为周期的周期函数
7、. 四、运用这些条件和关系解决一些抽象函数问题举例例 1 %（2009 年山东文科卷）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x-4）=-f（x） ，且在区间0，2上是增函数，则（ ） A. f（-25）f（11）f（80） B. f（80）f（11）f（-25） C. f（11）f（80）f（-25） D. f（-25）f（80）f（11） 解析因为 f（x-4）=-f（x） ，所以 f（x-8）=f（x） ，所以f（x）是以 8 为一个周期的周期函数.则 f（-25）=f（-1） ， f（80）=f（0） ，f（11）=f（3）.又因为 f（x）在 R 上是奇函数，所以 f（x-4）
8、=f（-x） ， 所以 f（x）的图像关于直线 x=-2 对称.则 f（3）=-f（-3） =-f（-1）=f（1）.又因为 f（x）在区间0，2上是增函数，所以 f（x）在区间- 2，2上是增函数，所以 f（- 1）f（0）f（1） ， 所以 f（- 25）f（80）f（11）.故选 D. 例 2 （2009 全国理科卷）函数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+1）与 f（x-1）都是奇函数，则（ ） A. f（x）是偶函数% B. f（x）是奇函数C. f（x）=f（x+2） D. f（x+3）是奇函数解析因为 f（x+1）与 f（x-1）都是奇函数，所以f（-x+1）=-f（x+1）
9、，f（-x-1）=-f（x-1） ，所以函数 f（x）的图像关于点（1，0）及点（-1，0）对称，所以函数 f（x）是周期 T=21-（-1） =4 的周期函数. 所以 f（x-1+4）=f（-x-1）=-f（x-1）=-f（x-1+4） ，即f（-x+3）=-f（x+3） ，即 f（x+3）是奇函数.故选 D. 例 3 已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x-4） =-f（x） ，且在区间0，2上是增函数，又 f（2）=0.若关于x 的方程 f（x）=m 在区间-8，8上有四个不同的根 x1， x2，x3，x4，且 x1x2x3x4，则 x1+x2=% %. 解析因为 f（x）是定
10、义在 R 上的偶函数，所以f（x）=f（-x）.故由 f（x-4）=-f（-x） ，知 f（x）的图像关于点（-2， 0）对称. 由 f（x-4）=-f（x） ，知 f（x-8）=f（x） ，所以 f（x）是以 8 为一个周期的周期函数. 又因为 f（x）在区间0，2上是增函数，所以 f（x）在区间-2，0上是减函数. 又关于 x 的方程 f（x）=m 在区间-8，8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，且 x1x2x3x4，所以如上图所示， 由对称性知，x1+x2=-8. 筲巩固练习1. 若函数 f（x）定义域为 R，且满足条件 f（x+a）= f（x+b） ，则 f（x）是周期函数吗？如果是，请求出其周期. 2. 若函数 f（x）定义域为 R，且满足条件 f（x+a）= -f（x+b） ，则 f（x）是周期函数吗？如果是，请求出其周期. 筲参考答案1. f（x）是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. 2. f（x）是周期函数，且 2|a-b|是它的一个周期. 专题指导26
