什么是重要的数学？

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1、什么是重要的数学？什么是重要的数学？什么是重要的数学？ -zt消息源：数学：确定性的丧失数学的孤立 http:/www.popyard.org/ 【八阕】 我已决定只放弃抽象几何，即放弃对仅有智力训练意义的问题的思考。而这是为了研究另一种以解释自然界现象为目标的几何。 笛卡尔 数学史中充满了光辉的成就，但它同时也是一部灾难的记录。真理的丧失当然是最重大的悲剧，因为真理是人类最珍贵的财富，即使丧失一个也足以令人扼腕。对数学的另一个打击是意识到人类推理的成就所展示的结构绝非完美，而是有着种种缺陷，对任何时候发现的灾难性的悖论都不堪一击。但这还不是伤心的唯一原因。深深的怀疑以及数学家们之间的分歧来自

2、于在过去一百年中研究方向的不同。大多数数学家从现实世界中退缩而关注于数学之中产生的问题。他们放弃了科学。这个方向作为应用数学的对立面而被称为纯数学。但是应用的和纯粹的这些术语并不能十分精确地说明所发生的变化。 数学是什么？对于前人来说，数学首先是人们为研究自然界而做出的最精致的发明。数学的主要概念、广博的方法，以及几乎所有的重要定理都是在这一过程中推导出来的。科学一直是维持数学生命力的血液。在科学领域中，数学家是物理学家、天文学家、化学家及工程师的热心同伴。事实上，在 17、18 世纪以及 19 世纪的绝大多数时间里，数学与理论科学的区别很少被注意到，而且许多杰出的数学家在天文学、力学、动力学

3、、电学、磁学及弹性理论中所做的工作远超过他们在数学中的工作。数学是科学的王后，同时也是它们的女仆。 我们已经叙述了（第一章至第四章）自希腊时期起为了揭示自然界的数学奥秘的漫长努力，这种致力于自然界的研究并没有把所有的应用数学束缚于物理问题的求解。伟大的数学家们时常越过科学中的眼前问题，因为他们大智大慧，深刻了解数学的传统作用，并且能够明确那些在科学事业中被证明是具有重大意义的方向及澄清那些对研究自然有帮助的概念。彭加勒在天文学上投入数年功夫，写出了巨著天体力学 ，他看到了探求微分方程中新的主题之必要性，它也许最终会推动天文学。 有些数学上的研究导致并且完善了一些已被证明有用的学科。如果在一些不

4、同的应用中用到了同一类型的微分方程，则为了发现改进的或一般的解法，或为了尽可能多的了解关于整个解族的情况，数学家们会研究一般类型。正是数学的这种高度抽象的特点，使得它可以表示完全不同的物理现象。因此，水波、声波及无线电波都用一个偏微分方程来表示。事实上，这一方程被称为波动方程。通过对波动方程本身的进一步考察而获得的其他数学知识，首先起源于对于声波的研究。由现实世界中的问题而获得的丰富结构，可以由认识到在不同情况中的相同数学结构及其共同的抽象基础得到加强。为了保证物理问题的数学方程有解，柯西率先建立微分方程的存在性定理，这样才能充满信心地寻求这个解。因此，尽管这项工作完全是数学的，但它却有着深远

5、的物理意义。康托尔的关 286 于无限集的工作导致了纯数学上的许多探讨，但它首先是受他试图解决关于傅立叶级数的极为有用的无穷级数的问题激发的。 数学的发展要求对独立于科学的问题进行探求。我们看到（见第八章）19 世纪的数学家已经意识到许多概念的含混不清以及它们论据的不足。追求严密性的这一广泛运动的本身当然既不是对科学问题进行探讨，也不是几个学派重建基础的尝试。所有这项工作虽然是致力于数学，但显然是对整个数学结构的迫切需要的反应。 简而言之，有许多纯的数学研究完成了或加强了旧的领域，甚至开辟了新的领域，它们对探索应用意义重大。所有这些方向的研究都可以看作是具有广泛意义的应用数学。 那么一百年前就

6、没有单纯地为其自身、而不是为实用而创建的数学吗？有的。一个突出的例子就是数论。尽管毕达哥拉斯认为对整数的研究是对实际物体的构成的研究（见第一章） ，但是数论很快就由于它自身的原因引起了人们的兴趣它是费马的主要课题。文艺复兴时期的艺术家们为了获得绘画中的真实感而创建了投影几何，笛萨格从事了这方面的研究。帕斯卡提出了欧氏几何的更高级方法，使之在 19 世纪成了纯美学的研究，尽管即使在那时这种研究也是由于它与非欧几何的重大联系。许多其他的研究课题则纯粹是由于数学家发现它们有趣或富有挑战性。 然而，与科学完全无关的纯数学不在主要的考虑之列。从科学引起的更富生命力且令人极感兴趣的问题中分离出来，这只是一

7、种嗜好。尽管费马是数论的奠基人，但他更多的精力是投入到解析几何的发明、微积分问题以及光学（见第六章） 。他试图引起帕斯卡和惠更斯对数论的兴趣，但是失败了。17 世纪，很少有人会对这类学科产生兴趣。 欧拉确实在数论上花了一些功夫，但欧拉不仅仅是一个 18 世纪卓越的数学家，他也是卓越的数学物理学家。他的研究范围从解决物理问题的数学方法如微分方程求解，到天文学、流体运动、舰船的设计、火炮、制图、乐器理论以及光学。 拉格朗日也在数论上投入了一些时间。但是他也同样把他毕生大部分精力花在了对应用至关重要的数学分析之上（见第三章） 。他的代表作是分析力学 ，讨论数学在力学中的应用。事实上，在1777 年他

8、抱怨道：“算术研究给我带来了极大的麻烦，而且也许毫无价值。 ”高斯也在数论方面作出了令人瞩目的成就，他的算术研究 （1801 年）是一部经典名著。如果只看这部著作，则很容易相信高斯是个纯数学家，但他的主要精力却放在了应用数学中（见第四章） 。克莱因在他的 19 世纪数学史中称算术研究为高斯青年时期的作品。 虽然高斯在晚年确实回到了对数论的研究，但他显然不认为这一学科十分重要。证明费马大定理问题即没有大于 2 的整数满足xn+yn=zn，常常困扰着他，但在 1816 年 3 月 21 日写给奥尔帕斯(Wilhelm Olbers)的一封信中，高斯称费马猜想是一个孤立的定理，没有什么意义。他还说，

9、有许多既不能证明也不能证伪的猜想，但他是如此繁忙，以至于没有时间去考虑他在算术研究中所做过的那类工作。他希望费马猜想也许能在他所做的别的工作基础上得到证明，但那将是最无意义的推论了。 高斯曾说 “数学是科学中的王后，而数论是数学中的王后。她经常屈尊降贵为天文学及其他自然科学助一臂之力，但无论如何，她总是处在最重要的位置。 ”这说明了他对纯数学的偏爱。但高斯的毕生事业并没有遵从这句话。他很可能只在某些闲暇的时候做到了这一点。他的格言是：“你，自然，我的女神：对你的规律，我的贡献是有限的。 ”富有讽刺意义的是：通过有关非欧几何的工作，他对于数学与自然一致性的一丝不苟的证明，对怀疑数学的真理性起着深

10、远的影响。对于 1900 年以前所创建的数学，我们可以得出一般的结论：存在纯粹数学，但不存在纯粹的数学家。 一些进展奇妙地改变了数学家们对自己工作的态度。首先是认识到数学并非一个关于自然的真理体系（见第四章） 。高斯在几何中使这一点很清楚，而四元数及矩阵迫使人们意识到这一点，亥姆霍兹理解得更透彻即使是一般的数的数学也并非是可用的先验理论。数学的实用性虽说无懈可击，但对真理的探求不再证明数学的努力全然正确。 此外，像非欧几何和四元数这些重大的发展尽管是受物理思考的启发，显得与自然不一致，但其导出的发明是实用的。人们认识到人为的发明同那些看起来遵从自然界的固有规律的事物一样有意义，这很快成为全新的

11、数学方法的一个论据。因此，许多数学家得出结论：没有必要去研究现实世界中的问题，人为的数学来源于人的大脑并肯定将会被证明是有用的。事实上，不受限于物理现象的纯思维，也许会做得更好。不受任何约束的想象力也许能创造出更为有力的理论，而它们同样能在理解和掌握自然中找到应用。 还有其他的原因使得数学家们逃离了现实世界。数学和自然科学的巨大扩展，使得在两个领域中得心应手变得十分困难，而以前的巨匠们钻研过的科学问题更加难解了。既然如此，为什么不立足于纯数学，以使研究更简单呢？ 使得数学家们着手于纯数学问题的另一因素是：自然科学的问题很少能彻底解决。人们可以得到越来越好的近似解，但得不到一个最终的解答。一个基

12、本问题例如三体问题，即像太阳、地球及月球这样的三个天体，每一个都靠万有引力吸引着其他的两个，它们的运行规律还没有解决。正如培根所言，自然界的精巧远胜于人类智力。另一方面，纯数学允许明确的有所限制的问题，其完全解是可以得到的，把明确的问题与复杂度和深度无限的问题相对立这一点颇为有趣，即使是像哥德巴赫猜想这样的至今尚未征服的少数难题，也有着极富诱惑力的论述上的简洁性。 另一促使数学家从事纯数学问题研究的因素是来自大学之类机构的出版成果的压力。由于应用问题需要除了数学之外的自然科学的丰富知识，这就使那些待解决问题愈加困难，因此，提出自己的问题并尽力解决就容易得多了。教授们不仅自己选择那些易于求解的纯

13、数学问题，还把它们指定给他们的博士，以便他们可以很快地完成学位论文，同时教授们也能够更轻易地帮助他们克服所遇到的困难。几个现代纯数学所循方向的例子可以使纯数学与应用数学的区别更清楚。一个领域是抽象化。自从哈密尔顿引入了他在思维中赋与了物理应用的四元数后，其他数学家意识到可以有多种代数，而不顾其有无潜在实用性。这一方面的研究结果充斥了今日的抽象代数领域。 纯数学的另一方向是一般化。圆锥曲线椭圆、抛物线、双曲线代数上以二次方程来表示，有一些以三次方程表示的曲线也具有实用意义。一般化的研究一下子跳到 n 次方程所表示的曲线，而且对其性质进行了详细的研究，尽管这些曲线根本不大可能在自然现象中出现。 通

14、常，具有一般性或抽象性的论文毫无实用价值。实际上，大多数这样的论文致力于把当前存在的用具体明确的语言描述的公式用更一般的、更抽象的或新的术语进行重新公式化，而这样的重新公式化对于应用数学的人来说，既不能提供更为有力的方法，也不能提供更深刻的见解。这些增加的术语大部分是人造的，与物理思想无甚联系，但据称能提出新的思想，当然并不是对数学应用的贡献而是阻碍。它是新的语言，但不是新的数学。 纯数学研究的第三个方向是专门化。欧几里得考虑和回答是否有无穷大的素数。现在“自然”的问题则是是否任何七个连续整数中有一素数。毕达哥拉斯引入了亲和数的概念。如果一个数的因子之和等于另一个数，则称这两个数为亲和数。例如

15、，284 和 220 就是亲和数。列奥纳多迪克森，杰出的数论专家，引入了三元亲和数：“我们说三个数构成三元亲和数，如果其中一个数的真因子之和等于另外两数之和。 ”他还提出了如何寻找这类数的问题。另一个例子是关于强大数(powerful number)的。一个强大数是这样一个正整数，如果它能被素数 p 整除，则也能被 p2 整除。有没有（除 1 和 4 之外）正整数其可用无穷多种方法表为两个互为素数的强大数之差呢？ 选择这些专门化的例子，是由于它们易于陈述和理解。它们并不能完全代表这类问题的复杂性和深度，然而，专门化已经变得如此广泛，而且问题是如此狭窄，以致于没有几人能弄懂它，就像当初相对论问世

16、时，全世界仅有 12 人懂得它。 专门化如此泛滥，以致于并不致力于应用数学的大多数布尔巴基派成员也认为必须提出批评了。 许多数学家在数学王国的一角占据了一席之地，并且不愿意离开。他们不仅差不多完全忽略了与他们的专业领域无关的东西，而且不能理解他们的同事在远离他们的另一个角落使用的语言和术语。即使是受过最广博的训练的人在浩瀚的数学王国的某些领域中也感到迷茫，像彭加勒和希尔伯特这样的人，几乎在每个领域都留下他们天才的印迹，甚至在最伟大的成功者中也是少而又少的极其伟大的例外。 专门化的代价是创造力的枯竭，专门化需要鉴赏力，因为它很少提供有价值的东西。 抽象化、一般化和专门化是纯数学家从事的三类活动。第四类是公理化。毫无疑问，19 世纪末的公理化运动是有助于加固数学的基础的，虽然它并没有为解决基础问题划上句号，但一些数学家从此却开始了对新创的公理体系的细枝末节的修改。有些人可以通过重述公理，使表述更为简洁。有人则通过繁琐的文字叙述把三条定理合为两条。还有一些人则选择新的未定义概念，通过重新组织那些公理因此而得到与原来相同的理论体系。 如我