中国特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第12讲复数的运算与几何意义

Doc521 资料分享网(D) – 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) – 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲数学高考综合能力题选讲 12复数的运算与几何意义100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测题型预测从近几年的高考试题看，复数部分考查的难度在下降，题量也在减少，考查的内容主 要集中在三个方面：一、复数的运算．包括代数形式及三角形式的计算，复数模、辐角及 其主值的计算．二、以复数运算和某些概念的几何意义为核心而形成的数形结合的题 目．三、复数与方程的题目．估计今后几年高考试题仍将侧重于复数的概念、运算、复数 与三角、复数与几何、复数与不等式等综合型试题．范例选讲范例选讲例 1 若复平面内单位圆上三点所对应的复数，满足且321,,zzz312 2zzz，求复数．032iizz321,,zzz讲解：当已知复数的模时，往往可以利用复数的三角形式解题．解 1： 设，，，则由sincos1izsincos2izsincos3iz可得：032iizz  01cossin0sincos 利用，可解得：，1sincos22  23sin21cos所以，．2313iz当时，，；2313iz23132iziz132 2 1zzzDoc521 资料分享网(D) – 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) – 资料分享我做主！当时，，．2313iz23132iziz132 2 1zzz若能注意到本题的特点：则可充分利用模的性质，得到下面的解 2．解 2：由题可知都等于 1，又由得：321,,zzz032iizz，所以，，132ziz1123zz所以，所对应的点的轨迹为圆与圆的交点．3z122 yx1122yx解之得：．2313iz以下同解 1．略．用复数的代数形式去解本题也未尝不可．解 3：设，其中，则由fiezdiczbiaz321,,Rfedcba,,,,,题可得：)7(01)6(0)5(2)4()3(1)2(1) 1 (122222222edfcbeafcdbfaedcfedcba解这个 6 元方程组，需要较高的技巧，如果能够注意到（2）、（3）、（6）、（7）只与相关，则可将此四个方程联立，解得：，所以，fedc,,,21e．23f下略． 点评：复数的代数形式、三角形式、模的性质是解决复数问题的 3 大支 柱．例 2 设复数满足：，，它们在复平21,zz01412 22 212 1zazzz0a面内分别对应于不同的点 A、点 B，O 为坐标原点，若，求使得4122azDoc521 资料分享网(D) – 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) – 资料分享我做主！△AOB 有最大面积时的 a 的值，并求出最大面积．讲解：由于，所以，首AOBzzAOBOBOASAOBsin21sin2121先应结合题目条件，考虑与的关系．1z2z首先，，所以，，解这个关于的方程，02z0141221221      azz zz21 zz得：．2121ai zz所以，，，21 21221aai zzaAOBtan所以，． 21sin aaAOB 所以，AOBzzAOBOBOASAOBsin21sin212122214121 21aaaa   2244aa222242442aaa 322234422161    aaa．93等号当且仅当，即时取得．此时，△AOB 取得最大面2242aa332a积，为．93点评： 正确理解复数运算的几何意义是数形结合和实现问题转化的关键．Doc521 资料分享网(D) – 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) – 资料分享我做主！高考真题高考真题1．（1994 年全国高考）已知 z＝1＋i, （Ⅰ）设 ω＝z2＋3 －4,求 ω 的三角形式;；z（Ⅱ）如果＝1－i,求实数 a,b 的值.1zzbazz222．（1995 年全国高考）在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 Z1，Z2，Z3，O(O 为原点),已知 Z2对应复数 z2＝1＋i,求点 Z1和 Z3所对3应的复数．3．(1997 年全国高考)已知复数 z＝,复数,z2w3在复数ii22 22,21 23zw平面上所对应的点分别为 P,Q,证明△OPQ 是等腰直角三角形(其中 O 是原点).[答案与提示：1．（Ⅰ）；（Ⅱ）．  45sin45cos2i2, 1ba2．；． 3．略．]iz213 2311iz213 2313。