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1、1数学综合练习题1椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线 与 x 轴2 2( , )0F c0cl相交于点，过点的直线与椭圆相交于、两点。A2OFFAAPQ（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；0OP OQuuu r uuu rPQ（3）设（） ，过点且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点，证明：APAQuuu ruuu r1PlM.FMFQ uuu u ruuu r2. 以椭圆1（a1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试2 22 yax判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.3. 已知，二次函数 f（x）ax2bxc 及一次函数 g（x）bx，
2、其中 a、b、cR， abc，abc0. （）求证：f（x）及 g（x）两函数图象相交于相异两点； （）设 f（x） 、g（x）两图象交于 A、B 两点，当 AB 线段在 x 轴上射影为 A1B1时，试求 |A1B1|的取值范围.4已知焦点在轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点x为圆心，1 为半径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线对称)2, 0(Axy （）求双曲线 C 的方程； （）设直线与双曲线 C 的左支交于 A，B 两点，另一直线 经过 M（-2，0）1 mxyl及 AB 的中点，求直线 在轴上的截距 b 的取值范围； ly（）若 Q 是双曲线 C
3、上的任一点，为双曲线 C 的左，右两个焦点，从引21FF1F的平分线的垂线，垂足为 N，试求点 N 的轨迹方程21QFF25. 对任意都有)(xfRx.21)1 ()(xfxf（）求和的值)21(f11( )() ()nffnNnn（）数列满足：=+， 数列 nana)0(f) 1 ()1()2()1(fnnfnfnfLL是等差数列吗？请给予证明；na（）令.1632,14422 32 22 1nSbbbbTabnnn nnLL试比较与的大小nTnS6. 设 f1(x)=,定义 fn+1 (x)=f1fn(x),an=,其中 nN*.x12 2)0(1)0( nn ff(1) 求数列an的通项
4、公式；(2)若 T2n=a1+2a2+3a3+2na2n, Qn=,其中 nN*,试比较 9T2n与 Qn的大小.144422 nnnn7 已知=（x,0） ，=（1，y） ， （+）（） aba3ba3b（I） 求点（x，y）的轨迹 C 的方程；（II） 若直线 L：(0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D（0，1） ，且有 ykxmk|AD|=|BD|，试求 m 的取值范围3参考答案参考答案1.（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。 由已知得解()222122xyaa,().22222acaccc得 所以椭圆的方程为，离心率。,62ac22 162xy6 3e （2）解：由（1）可得 A（3
5、，0） 。设直线 PQ 的方程为。由方程组()3yk x,()22 162 3xyyk x 得，依题意，得。()222231182760kxk xk()212 2 30k 66 33k设，则(,),(,)1122P xyQ xy， 212218 31kxxk。 21 22276 31kx xk由直线 PQ 的方程得。于是(),()112233yk xyk x。 ()()()22 12121 2123339y ykxxkx xxx，。 0OP OQuuu r uuu r1 2120x xy y由得，从而。251k (,)566 533k 所以直线 PQ 的方程为或530xy530xy（3）证明：
6、。由已知得方程组(,),(,)112233APxyAQxyuuu ruuu r注意，解得因，(),.121222 1122 2233162162xxyyxyxy 1251 2x ( ,),(,)112 0FM xy故。(,)( (),)1121231FMxyxyuuu u r(,)(,)1211 22yy 4而，所以。(,)(,)222122FQxyy uuu r FMFQ uuu u ruuu r2. 解：因 a1，不防设短轴一端点为 B（0，1）设 BCykx1（k0）则 AByx1 k1把 BC 方程代入椭圆，是（1a2k2）x22a2kx0|BC|，同理|AB|222 2 121kak
7、ak222 221akak由|AB|BC|，得k3a2k2ka210即（k1） k2（1a2）k10 k1 或 k2（1a2）k10 当 k2（1a2）k10 时，（a21）24由0，得 1a，由0，得 a，此时，k133故，由0，即 1a时有一解，由0 即 a时有三解 333. 解：依题意，知 a、b0abc 且 abc0a0 且 c0 （）令 f（x）g（x） ，得 ax22bxc0.（*）4（b2ac）a0，c0，ac0，0f（x） 、g（x）相交于相异两点 （）设 x1、x2为交点 A、B 之横坐标则|A1B1|2|x1x2|2，由方程（*） ，知|A1B1|2 22224)(444
8、aacca aacb22 24()acac a24 ( )1 (*)ccaa，而 a0，020abcacab2c a ， 020abcaccb1 2c a 4（）21（3，12）|A1B1|（，2） 122c a ac ac334解：（）设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx，则 kx-y=0该直线与圆相切，双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=x 1)2(22 yx故设双曲线 C 的方程为又双曲线 C 的一个焦点为 12222 ay ax)0 ,2(， 双曲线 C 的方程为 222a12a122 yx（）由得 令 1122yxmxy022)1 (22mxxm22)1 ()(22mxxmxf直线
9、与双曲线左支交于两点，等价于方程 f(x)=0 在上有两个不等实根)0 ,(因此 012012022mmm5解得21 m又 AB 中点为，直线 l 的方程为)11,1(22mmm )2(2212xmmy令 x=0，得817)41(22 22222 mmmb， )2, 1 (m)1 ,22(817)41(22m), 2()22,(Ub（）若 Q 在双曲线的右支上，则延长到 T，使，2QF|1QFQT 若 Q 在双曲线的左支上，则在上取一点 T，使2QF|1QFQT 根据双曲线的定义，所以点 T 在以为圆心，2 为半径的圆上，即点 T2|2TF)0 ,2(2F的轨迹方程是 )0(4)2(22xyx
10、由于点 N 是线段的中点，设，TF1),(yxN),(TTyxT则，即代入并整理得点 N 的轨迹方程为 222TTyyxxyyxxTT 222122 yx)22(x5. 解：（）因为所以 21)21()21()211 ()21(ffff41)21(f令，得，即 nx121)11 ()1(nfnf21)1()1(nnfnf（） )1()1()1()0(fnnfnffanL又 )0()1()1()1(fnfnnffanL两式相加 21)0()1()1()1()1()0(2nffnnfnfffanL所以， Nnnan,41又故数列是等差数列41 41 4111nnaannna（）nabnn4 144
11、22 22 1nnbbbTL)1 31 211(16222nL)1(1 321 211116nnL)1 11()31 21()211(116nnLnSnn1632)12(16所以 nnST 6.（1）f1(0)=2,a1=,fn+1(0)=f1fn(0)=,2212 41 )0(12nf6an+1=an,2)0(1)0(11 nn ff2)0(121)0(11nnff )0(24)0(1nn ff 21 2)0(1)0( nn ff 21数列an是首项为,公比为的等比数列，an=()n1.41 21 41 21（2）T2n=a1+2a2+3a3+(2n1)a2n1+2na2n,T2n=(a1)
12、+()2a2+()3a3+()(2n1)a2n1+()2na2n21 21 21 21 21 21=a2+2a3+(2n1)a2nna2n,两式相减得T2n=a1+a2+a3+a2n+na2n,23所以，T2n=+n()2n1=()2n+()2n1, 23211)21(1412 n41 21 61 61 21 4n 21T2n=()2n+()2n1=(1). 9T2n=1, 91 91 21 6n 21 91nn2213 nn2213 Qn=1,当 n=1 时，22n=4,(2n+1)2=9, 9T2nQn;2) 12(13 nn当 n=2 时，22n=16,(2n+1)2=25,9T2nQn
13、; 当 n3 时，22n=（1+1）n2=(C +C +C +C )2(2n+1)2,9T2nQn.0 n1 n2 nn n7解（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y),a3b333=（x, 0）(1,y)= (x, y).a3b333(+)(), Qa3ba3b(+)()=0, (x+)( x)+y(y)=0, a3ba3b3333故 P 点的轨迹方程为 2 213xy（II）考虑方程组 消去 y，得（13k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*)2 2,1,3ykxmxy显然 1-3k20, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)0.7设 x1,x2为方程*的两根，则 x1+x2=，x0=, y0=kx0+m=, 2316 kkm 221 313 2kkmxx 231km 故 AB 中点 M 的坐标为（，）, 2313 kkm 231km 线段 AB 的垂直平分线方程为 y=（）, 21 3m kk123()1 3kmxk将 D（0，1）坐标代入，化简得 4m=3k21,
