2011届高三数学一轮复习5：函数的图像及数字特征

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1、20112011 届高三数学一轮复习届高三数学一轮复习 5 5：函数的图像及数字特征：函数的图像及数字特征2011 届高三数学一轮复习 5：函数的图像及数字特征.txt本文由天地良心范范贡献doc 文档可能在 WAP 端浏览体验不佳。建议您优先选择 TXT，或下载源文件到本机查看。20102011 学年度高三数学（人教版 A 版）第一轮复习资料第 5 讲【课标要求】 一 课标要求】函数图象及数字特征1掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、 一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等； 2掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；

2、3识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对 称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图象 与性质一些综合性问题；14通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 y = x, y = x , y = x , y = x , y = x 2 的图2 31像，了解它们的变化情况。【命题走向】 二 命题走向】函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识 占有极其重要的地位。其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、 数与形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力

3、要求高， 是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地 从历年高考形势来看： （1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、 伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解 题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题； （2）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察； （3）与幂函数有关的问题主要以 y = x, y = x , y = x , y = x , y = x 为主，利用它们2 3 ?1 1 2的图象及性质解决实际问题； 预测 2011 年高考函数图象： （1）

4、题型为 1 到 2 个填空选择题； （2）题目多从由解析式得 函数图象、数形结合解决问题等方面出题； 函数综合问题： （1）题型为 1 个大题； （2）题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数 的工具作用； 幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性 质来解决；【要点精讲】 三 要点精讲】1函数图象 （1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌 握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即 单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势） ；描点连线，画出函数的图象。 运用

5、描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线 要把表列在关键处， 要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的 研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点 用图象变换 法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个 难点 （2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源 th 源 p/源源源 gy 源源源 cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王 kc 王新 王 新 1

6、 o.c 王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源 th 源 p 源源源 gy 源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x 2 .6 m 王 w t 1 新 王 kc 新王 oc 王 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源 th 源/:w w kj.x 源 gty 源 m /w cx/ 源 源源 o.c 源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王 kc 1 王 o.c 王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源 th 源/:w w kj

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8、特 新王新 王 王 x 2 .6 m 王 w t 1 新 王 kc 新王 oc 王-1-平移变换： 、水平平移：函数 y = f ( x + a ) 的图像可以把函数 y = f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左(a 0) 或向右 (a 0) 或向下 (a 0) 的图像可以将函数 y = f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变纵 坐标伸长 (a 1) 或压缩（ 0 0) 的图像可以将函数 y = f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横 坐标伸长 (a 1) 或压缩（ 0 10 0 时为增函数； 任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1） ，至多有三个公共点；【典例解析】 四 典例解

9、析】题型 1：作图 例 1 （08 江苏理 14）3 成立， 设函数 f ( x) = ax ? 3 x + 1( x R ) ，若对于任意的 x ? 1,1 都有 f ( x ) 0 成立，则实数 a 的值为【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若 x0，则不论 a 取何值， f ( x ) 0 显然成立； 当 x0 即 x ?1,1 时， f ( x ) = ax ? 3 x + 1 0 可化为， a 33 1 ? x 2 x3设 g ( x) =3 (1 ? 2x ) 3 1 ? 1? ? 3 ，则 g ( x ) = ， 所以 g ( x ) 在区间 ? 0, ? 上单调递增，在区间

10、2 4 x x x ? 2?1? ?1 ? ,1? 上单调递减，因此 g ( x ) max = g ? ? = 4 ，从而 a 4； ?2 ? ? ?2?当 x0 即 ?1, 0 ) 时， f ( x ) = ax ? 3 x + 1 0 可化为 a 33 (1 ? 2 x ) 3 1 ? 3 ， g ( x) = 0 2 x x x4g ( x ) 在区间 ?1, 0 ) 上单调递增，因此 g ( x ) ma n = g ( ?1) = 4 ，从而 a 4，综上 a 4【答案】4 点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题 即可。要明确函数图像与函数自变

11、量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个 关系；例 2 2009 广 东 卷 理 ）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线） （ 那么对于图中给定的 t0 和 t1 ， 行驶甲车、乙车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙 （如图 2 所示）-4-下列判断中一定正确的是 A. 在 t1 时刻，甲车在乙车前面 B. t1 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在 t0 时刻，两车的位置相同 D. t0 时刻后，乙车在甲车前面 答案 A（）解析 由图像可知，曲线 v 甲 比 v 乙 在 0 t 0 、0 t1 与 x 轴所围成图形面积大，则在 t0 、t1 时 刻，甲车均在乙车前

12、面，选 A.（2）. (2009 山东卷理)函数 y =e x + e? x 的图像大致为 e x ? e? xy y().y 1 O 1 xy1 O1 x1 O 1 x O1 1 D xA 答案 A 解析BC函 数 有 意 义 , 需 使 e ?exx 0 , 其 定 义 域 为 x | x 0 , 排 除 C,D, 又 因 为y=e x + e? x e2 x + 1 2 = 2x = 1+ 2x ,所以当 x 0 时函数为减函数,故选 A. x ?x e ?e e ?1 e ?1【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点 在于给出的函数比较复杂,需

13、要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 例 3已知函数 y = f ( x )( x R ) 满足 f ( x + 1) = f ( x ? 1) ，且当 x ? 1,1 时， f ( x ) = x 2 ， 则 y = f (x ) 与 y = log 5 x 的图象的交点个数为 A、2 B、3 C、4 （ ）D、5 y 1 x解析：由 f ( x + 1) = f ( x ? 1) 知函数 y = f (x ) 的周期为 2，作出其图象如右，当 x=5 时，-5-1 O15f(x)=1,log5x=1; 当 x5 时，f(x)=10，1， log5x1, y = f (x )

14、与 y = log 5 x 的图象不再有交点，故选 C 巩固设奇函数 f(x)的定义域为 R， 且对任意实数 x 满足 f(x+1)= -f(x)， 若当 x0,1时， f(x)=2 -1, 则 f( log 1 6 )=2x.例 4 （2009 江西卷文）如图所示，一质点 P ( x, y ) 在 xOy 平面上沿曲线运动， 速度大小不 变，其在 x 轴上的投影点 Q ( x, 0) 的运动速度 V = V (t ) 的图象 大致为 ( )V (t )V (t )V (t )V (t )AO tBtOCt ODtO答案 B 解析由图可知，当质点 P ( x, y ) 在两个封闭曲线上运动时，

15、投影点 Q ( x, 0) 的速度先由正到 0、到负数，再到 0，到正，故 A 错误；质点 P ( x, y ) 在终点的速度是由大到小接近 0，故 D 错误；质点 P ( x, y ) 在开始时沿直线运动，故投影点 Q ( x, 0) 的速度为常数，因此C 是错误的，故选 B .题型 3：函数的图象变换 例 5 （2008 全国文，21） 21 （本小题满分 12 分） 设 a R ，函数 f ( x ) = ax 3 ? 3 x 2 （）若 x = 2 是函数 y = f (x ) 的极值点，求 a 的值； （）若函数 g ( x ) = f ( x ) + f ( x)，x 0， ，在

16、x = 0 处取得最大值，求 a 的取值范围 2 解：2 （） f ( x ) = 3ax ? 6 x = 3 x ( ax ? 2) -6-因为 x = 2 是函数 y = f ( x)的极值点，所以 f (2) = 0 ，即 6(2a ? 2) = 0 ，因此 a = 1 经验证，当 a = 1 时， x = 2 是函数 y = f ( x) 的极值点 4 分 （）由题设， g ( x) = ax ? 3 x + 3ax ? 6 x = ax ( x + 3) ? 3 x( x + 2) 3 2 2 2当 g ( x) 在区间 0， 上的最大值为 g (0) 时， 2g (0) g (2) ，即 0 20a ? 24