为什么要用字母表示数？

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1、为什么要用字母表示数？为什么要用字母表示数？为什么要用字母表示数？我们在小学学习数学时，已经接触过用字母表示数。例如，把加法交换律表示成 a+b=b+a，这比用语言“两个数相加，交换加数的位置，和不变”来叙述要简洁、好记得多。又如，在省去乘号后，圆面积公式可用字母表示成 s=r2（其中 s、r 分别表示圆面积、圆周率、半径） ，这比用语言“圆的面积等于圆周率与半径平方的积”来叙述方便得多。一般地说，用字母表示数，可以把数或数量关系简明地表示出来。我们在公式与方程中都用字母表示数，这给运算也带来了方便。“用字母表示数”是代数的基础，从最初步的意义上来说， “表示数”就是“代表数”的意思。再说一个

2、有趣的例子。你可能听说过下面的儿歌：1 只青蛙 1 张嘴，2 只眼睛 4 条腿， “卜通”一声跳下水，只青蛙 2 张嘴，4 只眼睛 8 条腿， “卜通” 、 “卜通”跳下水，4 只青蛙 4张嘴，8 只眼睛 16 条腿， “通” “通” “通” “通”跳下水。当然，这是为了帮助儿童练习说话而编造出来的。但从数学上来说，这首儿歌既罗唆，又漏掉了 3 只青蛙、5 只青蛙等情况。如果用字母表示数，我们就可以简单说成：“只青蛙张嘴，2 只眼睛4 条腿，声卜通跳下水。 ”你看，这不既简洁，又全面吗？什么叫做代数式？说到代数式，先要明白什么叫做代数运算。代数运算包括加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等六种，

3、其中乘方运算我们已学过平方与立方，而开方运算还没有学到。所谓代数式，就是指包含代数运算的式子，也就是指用代数运算符号把数与表示数的字母连结而成的式子。单独的一个数或者字母，也是代数式。aba：b=ab 所以 ab，a：b 也是代数式。在代数式中出现乘法、除法运算时，要注意些什么？（1）代数式中的乘号，通常写成“”或者省略不写。例如4a 可以写成 4a 或 4a（注意把数写在字母前面） ，2(a+b)可以写成 2(a+b)或 2(a+b)。数与数相乘时，一般仍用“”号。（2）在代数式中遇到除法运算时，常改写成分数的形式，例如，st 常改写成，ah2 常改写成（有时也改写成） 。（3）遇到带分数与

4、字母相乘时，要将带分数改写成假分数。例如，1 应改写成或（实际上， ，所表示的是同一个代数式） 。解简易方程时应该注意什么？（1）从现在起，应该慢慢学会并习惯于使用代数方法，而不要再使用小学里学过的算术方法（即通过逆运算的方法） 。（2）在教科书第 28 页的第 46 行下面划一条线，并把这三行字背下来，对于这三行字，最关键（即最要紧、最起作用）的是“同一个适当的”这六个字。什么数一定不适当呢？0 这个数一定不适当。什么数适当呢？这就靠你仔细观察方程的特点来选择。至于用加，还是用减、用乘、用除，也要靠你观察方程的特点再予以决定。观察是分析的基础，我们今后在做数学题目时，都应先仔细观察，再找出办

5、法。为什么要学习有理数？我们在小学学过的数包括整数、分数、它们都不能比 0 小。但是在生活中经常要碰到比 0 小、比 0 低、比 0 少的问题。例如：1.北京 1 月份某天下午 2 时的气温是 3oc，晚上 12 时（即次日0 时）的气温比下午 2 时下降了 12oc。晚上 12 时的气温是多少？2.某中学初一年级 4 个班进行足球比赛，规定赢一场记 1 分，结果初一（4）班输了一场，那么初一（4）班应该记多少分？问题（1）的答案是“零下 9oc” ，问题（2）的答案是“比 0 少1 分” ，你看多么麻烦！爱看中央电视台天气预报和足球比赛的同学都知道，这两个问题的答案可以分别表示为“9oc”和

6、“1 分” ，这就是有理数中的负数（即比 0 小的数）发挥的作用。有了有理数，像 312 这样的减法就可以做了。学了有理数后，0 是不是还表示没有？在有理数范围内，0 决不是表示没有。例如“0oc 的气温比9oc 的气温要高出 9oc，即 0 比9 大 9；得 0 分的球队比得1分的球队要多赢 1 场，即 0 比1 大 1。实际上，0 是在正数与负数中间的数，它比所有的正数小，但比所有的负数大。“相反数“这个概念有哪些主要的特点？主要特点有两个：第一，除 0 以外，相反数总是以 0 为中心“成对出现”的。如果把一对相反数表示到数轴上，那么原点一定在这两个相反数表示的点的正中央。第二，相反数总是

7、“双向”的，a 的相反数是a，a 的相反数是 a。a 与a 总是“互为”相反数，并且它们的和为 0。为了使任何一个有理数都有相反数，我们补充规定 0 的相反数是 0，即 0 与它本身互为相反数。“绝对值”这个概念有哪些主要的特点？主要特点有三个：第一，一个数的绝对值，就是数轴上表示数的点与原点的“距离“，所以绝对值不可能小于 0（注意：不能说绝对值总是正的，因为 0 的绝对值是 0，而 0 既不是正数也不是负数） 。第二，一个数的绝对值，是把这个数的正号或负号舍去以后留下来的数的值。例如|+63|=63,|2|=2,|+(1.5)|=1.5,|(4)|=4 等等。第三，有时有这样的情况，例如，

8、汽车向东开 6 千米或者向西开 6 千米，可以分别记作 6 千米和6 千米，这里的6 千米虽然有负号，但不并表示汽车走的路程比 0 少，仅仅表示汽车是向西的。向西开 6 千米和向东开 6 千米，都“绝对”是开了 6 千米。这说明，在生活中，有时应该只考虑舍去正号或负号以后留下来的数的值，也就是绝对值。 运算顺序是怎样规定的？我们把加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算叫做代数运算，其中加、减叫做第一级运算，乘、除叫做第二级运算，乘方、开方叫做第三级运算。运算顺序如下：（1）第三级运算第二级运算第一级运算；（2）遇到括号，先算括号里的，并且按照“小括号中括号大括号”的顺序进行。我国古代数学家祖冲之

9、对于圆周率的研究作出过哪些贡献？祖冲之（公元 429500 年）是我国南北朝时代的科学家，在数学方面有杰出成就。他推算出圆周率 的值在 3.1415926 和3.1415927 之间，可以认为精确到小数点后第 7 位（想一想，为什么不说精确到小数点后第 6 位） 。他提出了 的约率为，密度为因为，而31415929，与 =3.1415926535相比，精确到小数点后第 2 位，精确到小数点第 6 位。经后人证明，在所有的分子、分母都不大于 1000 的分数中，最接近于 的值。祖冲之提出要比德国数学家奥托求得这一结果早 1000 多年。因此，后人又把称为祖率。如何记忆 的近似值？对大部分同学来说

10、，只要记住就行。335/113 可以这样记忆：有六个数 113355，把前一半 113 作为分母，后一半 335 作为分子，还可以用一句英语句子来记忆：“Yes,Ihaveasmalltelescope.”（是的，我有一架小望远镜。 ）这个句子有六个词，它们分别含有3，1，4，1，5，9 个字母。你看，用这种附加意义法把数学与英语结合在一起是不是更有趣？在学习单项式与多项式时，要注意什么？单独的一个数或者字母，也是单项式。单项式是多项式的特例。例如，3x2 就可以看作二次三项式3x2+0x+0。所以，当我们说一个多项式的次数时，指的是在它的各个项中，系数不为 0 并且有最高次数的那一项的次数。

11、这里“系数不为 0”五个字十分重要。目前我们说一个多项式的次数时，主要是指系数不为 0 的项共有几个。“单项式和多项式统称整式”这一句话中的“统称”是什么意思？“统称”就是“统一起来叫做”的意思。其实我们在教科书的第 49 页上已经用过这个词语：“整数和分数统称有理数。 ”上面说过，单项式是多项式的特例。如果我们把整数看作分母为 1 的分数，那么整数也是分数的特例。这就是说，整式实际上就是多项式（其中包含着单项式） ，有理数实际上就是分数（其中包含着整数） 。这时，被“统称”的各个对象（人、事、物或科学词语）之间有包含或被包含的情况。另一种“统称”则不是这样，被“统称”的各个对象之间没有包含或

12、被包含的情况。例如我们可以说，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形统称三角形。这里有三个对象：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们谁也不是谁的特例。将来我们还可以说，长方形和正方形统称矩形，这里长方形被认为长大于宽（小学数学里就是这么说的） ，那么在两个对象长方形和正方形中，哪一个都不是另一个的特例。“合并同类项”中包含着什么重要的数学思想？一般地说，分类思想是一种重要的科学思想，各门学科都要运用这种思想。例如学习语言要分为听、说、读、写、译等各类技能，学习生物学要分为植物学、动物学和人类学，学习史、地要分为本国史、地和世界史、地，学习数学也要分为代数、几何（将在下学期开始学习）等。不过，将

13、同类对象按数量关系进行合并，这是数学中特有的。当我们计算一所中学的男生、女生人数时，是将各个年级或各个班级的男生、女生人数分别相加获得的，这里就有将同类对象按数量关系进行合并的思想。实际上， “合并同类项”运用的也是这样一种数学思想，它既简单又明了，并能使结果大大简化。把 3(a22b)去括号，得 3a26b，根据的是什么？由于我们在这一章只学习整式的加减，所以不能说上面的去括号过程是根据整式的乘法法则，不过我们可以认为是根据分配律，而这是我们已学习过的。用分配律来理解去括号法则，会变得更容易。例如：8a+(5aa)=8a+1(5aa)=8a+15a+1(a)=8a+5aa，而8a(5aa)=

14、8a1(5aa)=8a15a1(a)=8a5a+a。能不能利用竖式来进行整式的加减法？能。用竖式来进行整式的四则运算时，要将两个整式都按照某一个字母的降幂（或升幂）排好，其中缺少的项要用 0 补上。写竖式时，只要写出按降幂（或升幂）排列后各项的系数，不必写出后面的字母及其指数（心里记住就行了） 。例如，用竖式来解决教科书第 164 页上的例 2 和例 3，可以这样进行：3652y3y2+)476)1y2y271112yy2答案是答案是7x2+x1x2+2xy+y2如果把例 2 改成“3x26x+5 与 4x26 的和” ，那么竖式变成365+)406711答案是 7x26x1这种利用竖式，并且

15、靠系数来进行整式四则运算的方法，叫做分离系数法。这种方法说明，整式四则运算实际上可以只通过系数来进行。将来我们会看到利用分离系数法来进行整式乘、除运算的优越性。整式加减的结果有哪些特点？整式的和或差仍是整式；和式或差的次数都不会大于参加运算的整式的次数中较大的那一个，项数不会大于参加运算的整式的项数之和；减去一个整式，等于把这个整式乘以1 后加到被减式上去，因此减法是加法的特例，加法与减法可以统一成加法。关于等式的性质，除了教科书上讲到的以外，还有哪些没有提到？教科书指出，在等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，以及在等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是 0） ，所得的结果仍是

16、等式。我们可以把这些性质叫做“等式的加、减、乘、除不变性” 。除此以外，相等关系“=”还有以下更基本的性质：（1）如果 a=b 那么 b=a 这条性质叫做相等关系的对称性。我们有时把 8=改写成=8，就是利用了相等关系的对称性。（2）如果 a=b 并且 b=c 那么 a=c 这条性质叫做相等关系的传递性。根据对称性和传递性，可以知道，如果 a=b 并且 b=c 那么 a=c这条性质可用文字说成“等于同一量的两个量相等” ，简称为等量代换，这在中学数学中十分有用。教科书的正文中虽未提到后三条性质，但在第 185 页 B 组题的第一题中给同学们下了一点“毛毛雨” ，以后同学们都会用到这些性质的。移项法是不是直接根据等式性质 1 得到的？不是。因为等式性质 1 规定，等式两边都加上（或减去） “同一个数或同一整式” ，所得结果仍是等式，但在使用移项法时，我们没有这个规定，等式中的任何一项，不管它是不是数或整式，都可以从一边