八年级数学学案第三章：图形的平移与旋转_教师精编用

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1、用心 爱心 专心第三讲：图形的平移与旋转第三讲：图形的平移与旋转 【知识精讲知识精讲】 知识点知识点 1 平移、旋转和轴对称的区别和联系平移、旋转和轴对称的区别和联系（1）区别。 三者概念的区别：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形 运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形 运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠。如果它能够与另一个图形重合， 那么这两个图形成轴对称。 三者运动方式不同：平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。旋转是将一个图形 绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。 对应线段、对应

2、角之间的关系不同：平移变换前后图形的对应线段平行（或共线） 且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。轴 对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：对应点的连线被对称轴垂直平分。旋转 变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋 转角。 三者作图所需的条件不同：平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、 旋转方向和旋转角：轴对称要有对称轴。 （2）联系。 它们都在平面内进行图形变换 它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。 知识点知识点 2 组

3、合图案的形成组合图案的形成（1）确定图案中的“基本图案” 。 （2）发现该图案各组成部分之间的内在联系。 （3）探索该图案的形成过程：运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过 “基本图案”演变成“形”的。 要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。 运动的观点就是要求我们不能静止地挖掘“基本图案”与“组合图案”的内在联系， 头脑中应想象、再现图案形成的过程，做到心中有数，特别是有的图案含有不同的“基本 图案”其形成的方式也多种多样，可以通过平移、旋转、轴对称变换中的一种或两种变换 方式来实现，也可以通过同一种变换方式的重复使用来实现。 整体的思想包括整体的构思和“基本图案”的

4、组合。 知识点知识点 3 利用平移、旋转和轴对称的知识解决几何问题利用平移、旋转和轴对称的知识解决几何问题在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。从图 形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置，构成一个 新的关系，从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而 只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷。移动图形一般有三种方法：（1）平移法。（2）旋转法：利用旋转变换。（3）对称：可利用中心对称和轴对称。 知识点知识点 4 欣赏现实生活中的一些精美图案欣赏现实生活中的一些精美图

5、案用心 爱心 专心通过欣赏现实生活中的一些精美图案，引起学生的兴趣。 通过分析它们的形成过程，为今后进行图案设计提供素材。知识点知识点 5 图案设计的步骤图案设计的步骤1、整体构思 （1）图案的设计要突出“主题” ，即设计图案的意图，要求简捷、自然、别致，具有 一定的意义，例如，奥运会徽是由五个两两相联的圆环组成的，分别代表世界上五大洲的 人民热爱体育运动，携手共创美好的未来。 （2）确定整幅图案的形状（如圆形或正方形）和“基本图案” （不宜太复杂） 。 （3）构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成。再构思如何运用平移、 旋转、轴对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合，并作出

6、草图。 2、具体作图 根据草图，运用尺规作图的方法准确地作出图案。有条件的同学可用几何画板画出满 意的图案。【典型例题典型例题】例 1. 如图所示，A、B 两村之间有一条河，河宽为 a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥， 要使 AB 两村路程最近，请确定修桥的地点。分析：分析：假设桥为 MN，从 AB 要走的路程为 AMNB，要使路程最近，只需 AMNB 最小即可。例 2. 在ABC 的边 BC 上，取两点 D、E，使 BDCE，观察 ABAC 与 ADAE 的 大小关系。分析：分析：四条线段 AB、AC、AD、AE 比较分散，可利用平移的方法将它们集中到一起， 即可求出大小关系。证明：证明：将

7、AEC 沿 EB 的方向平移到FBD 位置FBAE，FDAC设 FD 与 AB 的交点为 O用心 爱心 专心在AOD 中，AOODAD在FOB 中，FOOBFB ABFDAOOBFOOD AOODFOOBADFBABACADAE例 3. 已知：ABCD1，AB 与 CD 交于 O 点，DOB60，比较 ACBD 与 1 的 大小。分析：分析：利用平移将 AC 与 BD 集中，再利用三角形三边关系进行比较大小。解：解：ACBD1证明：证明：过 C 作 CEAB，过 B 作 BEAC，连结 DE四边形 ABEC 为平行四边形ACBE，ABCEDOB60，ABCEDCE60ABCD1CECD1DCE

8、 为等边三角形DE1在DEB 中，DBBEDE即 DBAC1例 4. 已知：如图，E 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，AF 平分EAD 交 CD 于点 F， 说明 AEBEDF 的理由。分析：分析：由于要证的 3 条线段 AB、BE、DF 分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将 其放到一个三角形中。用心 爱心 专心解：解：把ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，则点 D 转到了点 B 的位置，点 F 转到了点 F 的位置，根据旋转的性质得：31，FBFD，AFBAFDABCD 为正方形DABF90F、B、E、C 在一条直线上又12EAB9032EAB90FAE290又AFD190AFB1

9、9012FAEAFBAEFEFBBEFDBE例 5. 如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90，使 AB 与 CB 重合，BP 到达 BP处，AP 到达 CP处，若 AP 的延长线正好经过 P，求APB 的度数。分析：分析：此题运用旋转将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90，根据旋转性质求出BPC 的 度数即可。而BPC 又是BPP 与CPP 之和，可各个击破，从而得解。解：解：由旋转的性质及特征可知：PBP90，APPC，BPBP在BPP中，BP PBPP 1 21809045又AP 的延长线正好经过 P点APC90BPCAPCBPP135从而可得APB135

10、例 6. 已知：如图，E、F、G 分别是正方形 ABCD 中 BC、AB、CD 上的点，且AEFG。求证：AEFG用心 爱心 专心分析：分析：AE、FG 所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其 位置改变后再进行证明。证明：证明：延长 AB 至 F使 BFBE，连结 CF正方形 ABCDABCB，ABC90又CBF90，BEBFABE 绕点 B 顺时针旋转 90可得CBFAECF，AECFFGAEFGCF又正方形 ABCD，ABCD四边形 GFFC 为平行四边形CFFGAEFG例 7. 如图，P 是正方形 ABCD 中 AC 上一点，PEAD 于 E，PFCD 于 F。求证

11、：（1）OEOF（2）OEOF分析：分析：充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。证明：证明：正方形 ABCDADC90，DAC45DEAD，PED90PFCD，PFD90四边形 EPFD 为矩形PEDF又PED90，DAC45用心 爱心 专心APE45AEP 中，AEPEAEDF正方形 ABCD 为中心对称图形AOD 绕点 O 顺时针旋转 90与DOC 重合A 与 D 为对应点又AEDFE 与 F 为对应点由旋转变换的特征知：OEOF，OEOF例 8. ABC 为等边三角形，点 D、E、F 分别在边 AC、AB、BC 上，且 AEBFCD，连结 AF、BD、CE，分别交于点 G、H、M。（1）

12、求1 的度数；（2）判断GMH 的形状。分析：分析：等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是 60，1 是BCH 的外角，可知123。而2414360，从而得证。解：解：（1）等边ABC 是旋转对称图形，且 AEBFCD所以，ABC 绕旋转中心旋转 120后，AEC、BFA、CDB 能够重合24由12314360（2）同理可得：GMHMGH60GMH 是等边三角形【同步拓展训练同步拓展训练】1. 两个长为 12cm 的线段 AB 与 CD 相交于点 O，AOD120，判断 ACBD 的最 小值。2. 如图ABC 中，BAC90，P 是ABC 内一点，将ABP 绕点 A 逆时针旋转一 定角度后能与

13、ACQ 重合，如果 AP3，那么APQ 的面积是多少？用心 爱心 专心3. ABC 是等边三角形，D 为 BC 边上一点，CDE 也为等边三角形，请你画出将 ACD 以 C 点为旋转中心，逆时针方向旋转 60后的三角形，并说明 AD 与 BE 的关系。4. 在四边形 ABCD 中，ADCABC90，ADCD，DPAB 于 P，若 ，求 DP 的长。SABCD 255. ABC 中，BAC120，以 BC 为边向形外作等边BCD，把ABD 绕点 D 顺时 针方向旋转 60到ECD 的位置，若 AB3，AC2。（1）求BAD 的度数；（2）求 AD 的长。【模拟试题模拟试题】 （答题时间：40 分

14、钟）A 卷卷一、选择题 1. 国旗上的四个小五角星，通过怎样的移动可以相互得到（ ） A. 轴对称B. 平移C. 旋转D. 平移和旋转用心 爱心 专心2. 起重机将重物垂直提起，这可以看作为数学上的（ ） A. 轴对称B. 平移C. 旋转D. 变形二、填空题 3. 广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和_等。 4. 将点 A 绕另一个点 O 旋转一周，点 A 在旋转过程中所经过的路线是_。 5. 以等腰直角ABC 的斜边 AB 所在的直线为对称轴，作这个ABC 的对称图形 ，则所得到的四边形 ACBC一定是_。CAB 6. 国际奥委会会旗上的五环图案可以看作一个基本图案_经过_运动得到。 7. 利用电脑，在同一页面上对某图形进行复制，得到一组图案，这一组图案可以看作是 一个基本图形通过_得到的。三、解答题 8. 如图，是一个可以自由转动的圆盘，圆盘被分成 6 个全等的扇形.它可以看作是由什么 “基本图案”通过怎样的旋转得到的？9. 如图，一栅栏顶部是由全等的三角形组成，下部分是由全等的矩形组成.请你运用平移、 旋转、轴对称分析说明这个图形的形成过程。10. 请你分析下面图案的形成过程。11. 下图是两个全等的直角三角形，请问怎样将BCD 变成EAB？12. 以一直角三角形为“基本图形” ，利用旋转而得到一个风车风轮图案.你能设计出几种 风车风轮