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1、12013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国卷全国卷 II 新课标新课标) 注意事项： 1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号 填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中
2、，只有一项是符合题目要 求的 1(2013 课标全国，理 1)已知集合 Mx|(x1)24，xR，N1,0,1,2,3，则 MN( ) A0,1,2 B1,0,1,2 C1,0,2,3 D0,1,2,3 答案：答案：A 解析：解析：解不等式(x1)24，得1x3，即 Mx|1x3而 N1,0,1,2,3，所以 MN0,1,2，故选 A. 2(2013 课标全国，理 2)设复数 z 满足(1i)z2i，则 z( ) A1i B1i C1i D1i 答案：答案：A解析：解析：1i.2i2i 1 i=1 i1 i 1 iz 22i 2 3(2013 课标全国，理 3)等比数列an的前 n 项和为 S
3、n.已知 S3a210a1，a59，则 a1( )A B C D1 31 31 91 9答案：答案：C 解析：解析：设数列an的公比为 q，若 q1，则由 a59，得 a19，此时 S327，而 a210a199，不满足 题意，因此 q1.q1 时，S3a1q10a1，3 1(1) 1aq q q10，整理得 q29.31 1q q a5a1q49，即 81a19，a1.1 9 4(2013 课标全国，理 4)已知 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 .直线 l 满足lm，ln，l，l，则( ) A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于 l D 与 相交，且交线平行于 l 答案：答
4、案：D 解析：解析：因为 m，lm，l，所以 l.同理可得 l. 又因为 m，n 为异面直线，所以 与 相交，且 l 平行于它们的交线故选 D. 5(2013 课标全国，理 5)已知(1ax)(1x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a( ) A4 B3 C2 D1 答案：答案：D解析：解析：因为(1x)5的二项展开式的通项为(0r5，rZ)，则含 x2的项为5Crrx2ax(105a)x2，所以 105a5，a1.22 5C x1 5C x6(2013 课标全国，理 6)执行下面的程序框图，如果输入的 N10，那么输出的 S( )A B1111+2310L1111+2!3!10!LC D1
5、111+2311L1111+2!3!11!L答案：答案：B 解析：解析：由程序框图知，当 k1，S0，T1 时，T1，S1；当 k2 时，；1 2T 1=1+2S当 k3 时，；1 2 3T 111+22 3S 当 k4 时，；1 2 3 4T 1111+22 32 3 4S 当 k10 时，k 增加 1 变为 11，1 2 3 410T L1111+2!3!10!S L满足 kN，输出 S，所以 B 正确 7(2013 课标全国，理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别 是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以
6、 zOx 平面为 投影面，则得到的正视图可以为( )答案：答案：A 解析：解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 Oxyz 的图像为下图：则它在平面 zOx 上的投影即正视图为，故选 A. 8(2013 课标全国，理 8)设 alog36，blog510，clog714，则( ) Acba Bbca Cacb Dabc 答案：答案：D解析：解析：根据公式变形，lg6lg21lg3lg3a lg10lg21lg5lg5b ，因为 lg 7lg 5lg 3，所以，即 cba.故选 D.lg14lg21lg7lg7c lg2lg2lg2 lg7lg5lg39(2013 课标全国，理 9)已知 a0
7、，x，y 满足约束条件若 z2xy 的最小值为 1，则1,3,3 .xxyya x a( )3A B C1 D21 41 2 答案：答案：B解析：解析：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，1, 3x xy 作直线 2xy1，因为直线 2xy1 与直线 x1 的交点坐标为(1，1)，结合题意知直线 ya(x3)过点(1，1)，代入得，所以.1 2a 1 2a 10(2013 课标全国，理 10)已知函数 f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是( ) Ax0R，f(x0)0 B函数 yf(x)的图像是中心对称图形 C若 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x0)单调递减 D
8、若 x0是 f(x)的极值点，则 f(x0)0 答案：答案：C 解析：解析：x0是 f(x)的极小值点，则 yf(x)的图像大致如下图所示，则在 (，x0)上不单调，故 C 不正确11(2013 课标全国，理 11)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( ) Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x 答案：答案：C解析：解析：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x05，则 x05.2p 2p又点 F 的坐标为，
9、所以以 MF 为直径的圆的方程为(xx0)(yy0)y0.,02p2px将 x0，y2 代入得 px084y00，即4y080，所以 y04.2 0 2y由2px0，得，解之得 p2，或 p8.2 0y16252pp 所以 C 的方程为 y24x 或 y216x.故选 C. 12(2013 课标全国，理 12)已知点 A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线 yaxb(a0)将ABC 分割为面 积相等的两部分，则 b 的取值范围是( )A(0,1) B2 11,22C D2 11,231 1,3 24答案：答案：B 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每
10、个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13(2013 课标全国，理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则_.AE BDuuu r uuu r答案：答案：2 解析：解析：以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点 A 的坐标为(0,0)，点 B 的坐标为(2,0)，点 D 的坐标为(0,2)，点 E 的坐标为(1,2)，则(1,2)，(2,2)，所以AEuuu rBDuuu r.2AE BDuuu r uuu r14(2013 课标全国，
11、理 14)从 n 个正整数 1,2，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为，则 n_.1 14 答案：答案：8解析：解析：从 1,2，n 中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为 5 的有(1,4)，(2,3)2 种，所以2Cn，即，解得 n8.221 C14n241 1114 2n nn n 15(2013 课标全国，理 15)设 为第二象限角，若，则 sin cos _.1tan42答案：答案：10 5解析：解析：由，得 tan ，即 sin cos .1tan1tan41tan21 31 3将其代入 sin2cos21，得.210cos19因为 为第二象限角，所以
12、 cos ，sin ，sin cos .3 10 1010 1010 516(2013 课标全国，理 16)等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S100，S1525，则 nSn的最小值为 _ 答案：答案：49解析：解析：设数列an的首项为 a1，公差为 d，则 S1010a145d0，110 9102adS1515a1105d25.115 14152ad联立，得 a13，2 3d 5所以 Sn.2(1)211032333n nnnn令 f(n)nSn，则，.32110( )33f nnn220( )3fnnn令 f(n)0，得 n0 或.20 3n 当时，f(n)0,时，f(n)0，所以
13、当时，f(n)取最小值，而 nN，则 f(6)20 3n 200 3n20 3n 48，f(7)49，所以当 n7 时，f(n)取最小值49. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17(2013 课标全国，理 17)(本小题满分 12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 abcos Ccsin B. (1)求 B； (2)若 b2，求ABC 面积的最大值 解：(1)由已知及正弦定理得 sin Asin Bcos Csin Csin B 又 A(BC)，故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 由，和 C(0，)得 sin Bcos B，又 B(0，)，所以. 4B (2)ABC 的面积.12sin 24SacBac由已知及余弦定理得 4a2c2.2cos4ac又 a2c22ac，故，当且仅当 ac 时，等号成立4 22ac 因此ABC 面积的最大值为.2+1 18(2013 课标全国，理 18)(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别是AB，BB1的中点，AA1ACCB.2 2AB(1)证明：BC1平面 A
