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1、双曲线典型例题讲解（四）双曲线典型例题讲解（四）例 16（2011江西理）江西理）是双曲线：)(,(000axyxPE上一点，分别是双曲线的左、右顶点，直线)0, 0(12222 baby axMNE，的斜率之积为.PMPN51（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于、两点，为坐标原ABO点，为双曲线上一点，满足，求的值.C - - - - - - -OBOAOC【解析】 （1）点是双曲线：上，有)(,(000axyxPE)0, 0(12222 baby ax，由题意又有，可得，122 0 22 0by ax 510000axy axy225ba 22
2、226bbac则530ace（2）联立，得，设， cxybyx2225503510422bcxx),(11yxA),(22yxB则，设，即 4352522121bxxcxx ),(33- - -yxOC - - - - - - -OBOAOC 213213 yyyxxx又为双曲线上一点，即，有C22 32 355byx22 212 215)(5)(byyxx化简得：2 21212 22 22 12 125)5(2)5()5(byyxxyxyx又，在双曲线上，所以，),(11yxA),(22yxB22 12 155byx22 22 255byx由（1）式又有22 212121212121105)
3、(54)(55bcxxcxxcxcxxxyyxx得：，解出，或04204例 17（2011山东山东)已知双曲线22221(0b0)xyaab，的两条渐近线均和圆 C:22650xyx相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为解:属基础知识考查属基础知识考查 由圆 C:22650xyx得:22(3)4xy,因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心(3,0),所以 c=3,又双曲线的两条渐近线0bxay均和圆 C 相切,所以2232bab ,即32b c,又因为 c=3,所以 b=2,即25a ,所以该双曲线的方程为,故22 154xy例 18（ （ （ （201120112011 浙江
4、省温州十校浙江省温州十校浙江省温州十校浙江省温州十校联联联联合体）合体）合体）合体）已知点 P 是双曲线右支上)0, 0( , 12222 baby ax一点，、分别是双曲线的左、右焦点，I 为的内心，若 21,FF21FPF成立，则双曲线的离心率为（ ）212121FIFIPFIPFSSSA4 BC 2D5 25 3解：本题主要考查双曲线第一定义，不难得到离心率为 2例 19（ （ （ （201120112011 浙江省台州中学高三期中）浙江省台州中学高三期中）浙江省台州中学高三期中）浙江省台州中学高三期中）直线的右右12:1:22yxCkxyl与双曲线支支交于不同的两点 A、B. （I）求
5、实数 k 的取值范围；（II）是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.解：（）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122yxCkxyl. 022)2(22kxxk 依题意，直线l与双曲线 C 的右支交于不同两点，故. 22. 022022, 0)2(8)2(, 0222222kkkkkkkk的取值范围是解得（）设 A、B 两点的坐标分别为、，则由式得),(11yx),(22yx .22,22222221kxxkkxx假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F（c,0）. 则由 FAFB 得：. 0) 1)(1()(. 0)(21212121 kxkxcxcxyycxcx即整理得. 01)() 1(2 21212cxxckxxk把式及代入式化简得26c. 066252kk解得)(2, 2(566 566舍去或kk可知使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点.566k
