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1、最小作用量原理与物理之美*范翔 physixfan0导言爱因斯坦说过:“我想知道上帝是如何设计这个世界的。对这个或那个现象、这个或那个元素的谱我不感兴趣。我想知道的是他的思想, 其他的都只是细节问题。 ”近代物理隐隐约约的表明, 我们人类似乎已经接近于上帝的终极设计了, 最小作用量原理、对称与守恒可能就是上帝设计世界的原则。最小作用量原理、对称与守恒不同于 F = ma、F = kx、F = GMmr2、F = kQq r2这类的普通物理定律, 他是物理定律的定律, 是一切其他普通物理定律的基础。最小作用量原理是一个令人神往的课题, 费恩曼上高中时听到他的老师巴德给他讲的时候就被深深震撼了,
2、我也是一样。当我第一次从费恩曼的书中看到这个原理时, 真是有种无法言表的喜悦, 好像是我窥见了上帝设计世界的图纸一般。后来我就如饥似渴的学习者有关引人入胜的最小作用量原理的知识,同时越来越被这伟大的原理所吸引。作用量这个概念还是比较抽象的, 我不想一上来就给作用量下定义, 这样会很难理解, 我会在之后的几章中由浅入深的介绍。主要思路如下:1. 自然中无处不在的极值2. 费马原理3. 牛顿力学4. 构建整个世界5. 对称守恒与作用量我的数学水平有限, 最小作用量原理的一部分内容因为过于复杂我没有研究明白, 我在这里写的仅仅是自认为弄明白了的部分。如果想进一步研究这个问题可以看一下下面的主要参考资
3、料。1自然中无处不在的极值观察自然界的各种现象, 会发现极值往往出现。知道这一点非常重要, 在最小作用量被明确提出之前, 人们已经研究了很多极值问题。我们先来看一些比较简单的极值问题, 会对最小作用量原理有一个*此文为我高中所写，其实这个主题只要是在大学物理专业修过理论力学课程之后就可以掌握。基于本文在网上还是有一定影响力，在此对排版上做一些改进，以变得更加美观. 个人网站：宇宙的心弦11自然中无处不在的极值2更深刻的认识, 也能从中看出最小作用量原理的起源与历史。物理定律都有两种表述形式: 一种是普通的我们高中学的形式, 用力、加速度、电场强度等概念描述的物理定律; 另一种是极值的形式, 在
4、一个物理过程中某个量取得极值。这两种表述形式是等价的。图 1: 例子中的电路图。先看一个最简单的例子, 如图1, 两个电阻 R1、R2并联, 输入的电流为 I, 求 I1、I2是多少。这个问题初中生都会做, 用并联时电压相等加上欧姆定律就可以作了。可以容易的求得I1=R2 R1+ R2I(1)现在我们换一种方法：I1、I2的取值使得热功率 P 最小。根据焦耳定律有P = I21R1+ I2 2R2= I2 1R1+ (II1)2R2(2)为了取得 P 的最小值我们对上式两边求导 (以 I1为自变量)。P= 2I1R1 2(I I1)R2= 0(3)可得I1=R2 R1+ R2I(4)与 (1)
5、 式得到的结果相同。求 P 的二阶导数发现 0, 果然是极小值。静电平衡也可以用两种方式来解释。为了得到电荷总是分布在导体的表面这个结论, 我们一方面可以利用电荷之间互相排斥来说明; 另一方面, 我们可以利用导体的静电能最低来求出电荷的分布。看一个小题: 如图2，半径分别为 r 和 R 的同心金属球面以细导线相连, 已知整个系统带有电荷 Q,求静电平衡时, 内求所带的电荷 q。我们现在用静电能最低来证明 q = 0。设静电能为 W, 则W =1 2qU1+1 2(Qq)U2=1 2q(kq r+ kQq R) +1 2(Qq)(kq R+ kQq R)=1 2kq2(1 r1 R) +1 2k
6、Q2 R(5)为了求得 W 的最小值两边求导 (以 q 为自变量)W= kq(1r1 R) = 0(6)1自然中无处不在的极值3图 2: 例子中的带电球示意图。因为 r = R 所以 q = 0，我们得到了预期的结果。求 W 的二阶导数发现 0, 果然是极小值。再来看一个例子。如图3a那样把一个铁链子的两端系在水平的棒上, 铁链子会形成一个美妙的曲线(悬链线)。为了计算这条曲线的方程, 我们可以用受力分析来做, 但还有另一种方法, 即铁链子的真实形状使得其重力势能最低。你无论怎么改变铁链子的形状, 得到的重心总会比真实情况高。水珠也很有代表性。如果在太空中忽略重力, 那么水珠会成为球形相同体积
7、的所有立体图形中表面积最小的, 在物理中我们说表面势能最小 (表面张力会使液体有一个表面势能, 其大小正比于液体表面积)。如果考虑重力, 液体的形状会是怎样的呢? 是哪一个量取最小值呢, 重力势能还是表面势能?聪明的造物主选择了这么一个量: 重力势能加上表面势能最低。重力尽可能的把重心往下拽, 表面张力又尽可能的使液体保持球形, 最后就形成了一个扁扁的类似椭球的形状 (不考虑液体与地面之间的分子力)，如图3b。以上种种现象表明, 造物主似乎是个精明的经济学家, 他总是尽心设计物理定律使得“成本”最小。很久以前, 人们认为这些极值问题仅仅是一些物理定律的偶然结果, 可是随着理论的发展, 人们似乎
8、慢慢认识到极值才是宇宙中最本质的定律。在今天, 物理学家们已经找到了一种以统一的形式和精确的数学去描述这些极值问题的原理最小作用量原理。(a) 悬链线示意图。(b) 水滴形状示意图。图 32费马原理42费马原理对于几何光学中的许许多多的定律, 费马找到了一种统一的描述, 现在被称为费马原理, 被认为是最小作用量原理在几何光学中的特例, 是最小作用量原理最早的成功例子。上一篇文章并没有真正写最小作用量原理, 写的仅仅是一些简单的极值问题 (千万不要认为那就是最小作用量原理), 而本文与下一篇文章则将写最小作用量原理在几何光学与动力学的特例, 并给出比较精确的数学公式 (这是为了后面的横向比较和更
9、深刻地理解最小作用量原理), 对微积分头痛的人可以跳过公式只看文字。费马原理是这么说的: 过空间中两定点的光, 实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。其中光程定义为该介质的折射率乘以路程。写成数学的形式就是:p2p1nds = 0(7)其中, 是变分符号,p1、p2表示空间中两个固定点,n 为介质的折射率,s 表示路程。为了理解上式的含义, 我们需要和导数做一个类比。我们对一个函数求导数, 如果导数值等于零, 那么可以判断出原函数在该点处会取得极小值、极大值或恒定值。上面的式子和导数有一个显著的不同,导数研究的是以字母为自变量的函数的极值, 而上式想求的则是以一个函数 (位置随时间变化的函
10、数)为自变量的泛函的极值。我们把每一条路径看作是位置随时间变化的函数, 把这个函数看作自变量, 我们要求的则是各条路径中光程取极值的那条路径; 就像我们求导求的是各个 x 中使得 y 取极值的那个点。函数求极值可以用导数, 泛函求极值则可以用变分法, 即 S = 0(其中 S 是一个泛函)。大家就把 理解成和微分 d 相类似的东西就可以了。大家可能还见过费马原理的另一种表述: 过空间中两定点的光, 实际路径总是时间最短、最长或恒定值的路径。就是把光程换成时间 t 了, 即:p2p1dt = 0(8)这两种表述是等价的, 因为p2p1dt = 0 p2p1ds v= 0 p2p1nds c= 0
11、 p2p1nds = 0(9)上面推导中 v 表示光在某介质中的传播速度 (v = c/n),c 表示真空中光速 (是个常数), 其余字母的解释和前面一样。在几何光学中, 我们把作用量 S 定义为S =p2p1nds(10)也就是说作用量在几何光学中的形式就是等号右边的那部分。有了费马原理, 就有了全部几何光学, 我们可以从费马原理出发推出所有的几何光学定理。这是费马原理的强大威力之一。首先看最简单的, 光在同种均匀介质中沿直线传播, 从费马原理当然一眼就能推出来。光走其他的路径肯定比直线所花的时间要长 (暂不讨论广义相对论中的时空弯曲)。2费马原理5图 4: 平面镜反射示意图。再来证明平面镜
12、反射中反射角等于入射角。如图4，我们把 S 点对称到平面镜的另一边, 用直线联结 S与 P, 得到的就是时间最短的路径, 联结 SO, 通过简单的平面几何知识就可以得到反射角等于入射角的结论。折射定律亦可以从费马原理推出来, 但是稍显麻烦, 在这里就不定量讨论了。我想说的是光之所以发生折射确实是因为光走那条关了一道弯的路径是时间最短的。记得很小的时候我就知道光可以发生折射, 可是我就一直弄不明白好端端的直线光为什么不走, 非要走一条怪异的拐弯的路线。我曾经问过很多老师光为什么会发生折射, 他们都没有给我满意的答复, 直到我看见了费马原理才彻底弄明白了这个问题。下面我要重点说一下费马原理如何简洁
13、的证明圆锥曲线的光学性质。这里的圆锥曲线都被镀上了一层银, 可以当镜子用。图 5: 椭圆镜面反射示意图。(1) 从椭圆一个焦点发出的光, 经过椭圆的反射, 会汇集到另一个焦点上。证明: 如图5，根据椭圆的定义,F1P + PF2= 定值, 根据费马原理, 光的实际路径是光程极小、极大或定值的路径, 所以 F1到圆锥曲线上任意一点再到 F2是光走的实际路径, 所以从 F1发出的光经过圆锥曲线反射会汇集到 F2。2费马原理6图 6: 抛物面镜面反射示意图。(2) 从抛物线的焦点发出的光, 经过抛物线反射会形成平行光束。证明: 如图6，做出抛物线的准线,F1P 等于 P 到准线的距离, 即这两段光程
14、相等。光的实际路径至于光程的取值有关, 所以从 F1发出的经过抛物线反射的光和直接从准线向右发出的光完全等效, 因此从 F1发出的光, 经过抛物线反射会形成平行光束。图 7: 双曲面镜面反射示意图。(3) 从双曲线的一个焦点发出的经过双曲线反射形成的光, 好像是从双曲线的另一个焦点直接发出的。证明: 如图7，因为 F1P F2P = 定值, 所以对极值的取得没有影响, 即从 F2发出的经过 P 反射的光与从 F1直接发出的经过 P 的光取极值的路径相同, 即路径是一样的。故证明了双曲线的光学性质。要知道, 从数学上证明上述性质是相当麻烦的, 而有了费马原理则可以几句话就把问题解决, 一点高深的
15、数学也没用。这是费马原理的另一个强大威力。至于费马原理为什么是对的,费恩曼物理学讲义第二卷第 19 章给出了一个精彩阐述。他是这么说的:“要是他遵循一条需要不同时间的路径, 则当它到达时就有不同相位。而在某一点上的总振幅等于光能到达的所有不同路径振幅贡献的总和。所有那些提供相位差异很大的路径将不会合成任何东西。但如果你能找出一整序列路径, 他们都具有几乎相同的相位, 则小小的贡献便将加在一起而在到达之处得到一个可观测的总振幅。因此, 重要路径就成为许多能给出相同相位彼此靠近的路径。 ”而只有时间取极值的那条路径, 才能保证路径有微小变化时时间保持不变 (再次与导数类比, 函数取极值的那个点,当
16、 x 有微小变化 x 时,y = yx = 0, 其余的点 y 都是一个不为 0 的数)。因此, 时间取极值的路径被叠加了, 成为了实际路径, 而其余的任何可能路径都被不同的相位给抵消没了。这个甚至可以解释光的衍射现象。当我们用一个很细的狭缝来挡住一部分光时, 时间不取极值的某些路径也因为有一部分光被挡住而不能很好的叠加为零, 因此这种情况下光并不是总衍直线传播, 而是3牛顿力学7产生了光可以绕到障碍物后面的的现象, 即衍射现象。我们已经看到了最小作用量原理在光学中的应用, 它可以代替所有其他几何光学定律。下一章我将写最小作用量原理在力学中的特例, 以及如何代替整个牛顿力学。3牛顿力学就像最小作用量原理可以推导出所有几何光学定律一样, 力学中也存在一个最小作用量原理的特例可以推导出整个牛顿力学。今天我们就来研究研究这个。图 8: 路径示意图。有这样一个事实: 假定有一个质点在引力场中通过自由运动从某处移动至另一处你把它抛出去,他就会上升又落下。如果画出 xt 图 (为了简化
