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1、1.5 时间序列的信号模型 1.5.1 时间序列信号模型的概念 描述平稳随机序列的统计特性有以下三种方式： 自相关函数； 功率谱(密度函数)； 时间序列信号模型, 如图1.5.1所示。 该信号模型表示：平稳随机序列 , 可以看成是由白噪声序列源 激励一个线性系统 产生的. ( )x n ( )w n( )H z图1.5.1平稳随机序列的信号模型 )()()( zAzBzH)(nx)(nw这里信号模型的输入-输出关系满足下列 阶差分方程: 或者写成 （1.5.1） 式中, 系数 . 是均值为零,方差为 的白噪声序列, 是我们要研究的平稳随机序列. 系统函数可由式(1.5.1)的z变换得到: （1
2、.5.2） p11( )(1)()( )(1)()pqx na x na x npw nb w nb w nq00()()pqkk kka x nkb w nk100 ba)(nw2 w( )x n01( )( )( )1q k k k p k k kb z B zH zA za z由于输出端含x(n-k),因此存在 反 馈 支 路 .ak是 反 馈 ( 或 自回 归,AR)支路的系数, 称为AR系 数.bk是前馈(或滑动平均, MA)支 路的系数, 称为MA系数. 其中 ； 另一方面, 由于输入-输出自相关函数的关系为 (1.5.3) 式中, 为系统的冲激响应函数. 上式的z变换为 令 ,
3、同时考虑到 , 得到 的功率谱为 (1.5.3) 0( )q k k kB zb z111 ( )1p k k kA za z( )( )( )()xxwwRmRmh mhm)(mh1 1 1( ) ()( )( )( )()( )( ) ()xxwwwwB z B zPzPz H z H zPzA z A z jze2()j wwwPe( )x n2 222()()()()j jj xxwwjB ePeH eA e 由以上分析可知, 随机序列 的自相关函数和功率谱均与信号模型 参数(阶次和系数)有关, 因此可采用这些模型参数来估计 和 信号模型法是一种研究平稳随机序列的有效方法. 由于该模型
4、是一 种线性模型, 它具有连续功率谱特性, 因此在功率谱估计方面, 显示出 很大的优越性. 1.5.2 三种时间序列信号模型 根据方程中系数取值的情况, 信号模型分为以下三种. 1.1.滑动平均模型滑动平均模型(Moving Average, 简称MA模型) （1）差分方程与系统函数 若 ,其它 , 则模型差分方程为 (1.5.5) 系统函数 (1.5.6) ( )x n ( )xxRm()j xxPe01a 0,(1,2, )kakp0( )()qk kx nb w nkMA 0( )( )q k k kHzB zb z2.特点 全零点模型(MA模型): 只存在零点,没有除原点以外的极点;
5、若全部零点都在单位园内, 该系统则为最小相位系统, 且模型是可逆 的. 2.2.自回归模型自回归模型(Auto-Regressive, 简称AR模型) （3）差分方程与系统函数 若 , , 其它 , 则模型差分方程为 (1.5.7) 系统函数 (1.5.8) 即为FIR滤波器. 01a 01b 0,(1,2, )kbkq1( )()( )pk kx na x nkw nAR111( )( )1p k k kHzA za z“自回归”的含义是: 该模型 当前的输出, 是当前的输入和过 去p 个输出的加权和. 该式说明x(n)是一个AR(p) 过程. 意指x(n)是由w(n) 激励一个p阶的AR模
6、型所 产生的. （4）特点 全极点模型(AR模型): 只存在极点,没有除原点以外的零点; 若全部极点都在单位园内, 模型才是稳定的. 3.3.自回归自回归- -滑动平均模型滑动平均模型(简称ARMA模型) （1）差分方程与系统函数 若 , ,而其它所有 与 都不为零, 则模型的差分方程表 示为: (1.3.9) 系统函数 (1.3.10) 即为IIR滤波器. 01a 01b kakb11( )()( )()pqkk kkx na x n kw nb w n k111( )1q k k k p k k kb zH za z自回归滑动平均Auto Regressive Moving Average
7、, 即ARMA （2）特点 极点-零点模型(ARMA模型); 分子部分称为MA部分; 分子部分称为AR部分, 应分别满足稳定性和可 逆性条件. 关于滤波器长度和阶数的说明: MA模型或RIR滤波器滤波器长度就是单位冲激响 应bk的长度(有限长), 即系数的个数.其阶数是差分 方程或系统函数式中q的大小(等于长度减1). AR模型,ARMA模型或IIR滤波器滤波器的单位冲激 响应的长度是无限的,因此一般只讲它的阶数. 阶数 就是差分方程或系统函数式中p的大小. 1z ( )w n0b ( )x n 1b2b1qbqb1z1z典型IIR滤波器. 1.5.3 三种时间序列信号模型的适应性 1. MA
8、及及ARMA信号模型的普遍适用性信号模型的普遍适用性 沃尔德(wold)分解定理: 任意一个实平稳随机序列 均可作如下分解： (1.3.11) 其中， 确定性信号部分(或不存在, 或可事先去掉); 具有连续谱分布函数的, 有限阶平稳随机MA序列. 由此可见MA信号模型具有普遍使用的性质. 由于ARMA信号模型包含了MA模型部分, 所以ARMA信号模型同样具有普 遍使用的性质. 2.AR信号模型的普遍适用性信号模型的普遍适用性 任意一个MA序列, 可用无限阶AR信号模型表示, 或者用阶数足够大的AR 信号模型近似表示(证明见教材). ( )x n ( )( )( )x nu nv n( )u n
9、 ( )v n 举例举例 【1】假定 模型为 求与其等价的AR模型. 解: 令 表示后移算子, 即 , , , 于是 模型可表示为 其中 , 设与 等价的AR模型为 ) 1 , 1 (ARMA114 . 07 . 0nnnnwwxxB1nnxBx22 nnxxB33 nnxxB) 1 , 1 (ARMAnnwBxB)()(BB7 . 01)(BB4 . 01)() 1 , 1 (ARMAnnwxBa)(则 即 可得 , 由上可见, AR模型参数 数目是无限的, 它们的绝对值按一幂 级数减少, 即 BB BBBa4 . 01 7 . 01)()()(4 43 32 2143210704. 017
10、6. 044. 01 . 11)(BaBaBaBaBBBBBa1 . 11a44. 02a 176. 03a0704. 04aia), 2 , 1(ij ijiraa|1, 0ij其中 等价的AR模型具有无限阶数, 但其参数 是按幂级数递减, 故应选择 合适的有限价 处截断, 即用 模型近似. 【2】设一 模型为 求与其等价 的模型. 解解: 方法同上, 结果如下: 【3】假定 模型为 ， 求与其等价的AR模型. 4 . 0|ria pi )AR(p )3AR(nnnnnwxxxx321145. 036. 09 . 0) 1 , 1 (ARMA114 . 03 . 1nnnnwwxx) 1 (
11、MA1nnnbwwx1|b解解: 方法同上, 结果如下: 因此, 由于 , 故 模型参数 按幂级数 减少, 愈近于零, 减 少愈快; 而 愈近于1, 减少愈慢. 222 21 11)(BbbBBaBaBai iba 1|b)(AR iaibbia bia1.5.4自相关函数,功率谱与时间序列信号模型的关系 上面已经说明,已知信号模型参数,可求得输出功率谱(用z变换形式表 示) 本节讨论, 已知信号的功率谱(或自相关函数), 如何按上式唯一分解 出一个因果稳定的模型系统函数. 1.1.有理谱信号有理谱信号 有理谱信号是信号模型输出的随机信号,其功率谱 是 或者 的有理函数. 简要说明如下: 由上
12、式可知, 若 是 的极点, 则 是 的极点, 因此, 式 中必包含下列因子: 上式进一步表明 是 的函数,设 21( )( )( )()xxwPzz H z H z()j xxPeje cosiz)(zH1 iz)(1zH( )xxPz112()()1()iiiizzzzz zzz )()(1zHzH)(1 zz则 令 ,得到 这就说明有理谱信号的功率谱是 或者 的有理函数. 2.2.谱分解定理谱分解定理 （1 1）定理）定理 如果功率谱 是平稳随机序列 的有理谱, 则一定存在一个零极 点均在单位园内的有理函数 (1.3.12) 11()2zz1( )()( )H z H zV2( )( )x
13、xwPzVjze 2()(cos)j xxwPeVjecos()j xxPe)(nx)(zH100100(1)( )( )( )(1)qq k kk kk pp k kk kkzb zB zH zA za zz满足 , 式中, , 都是实数, ,且 , . 解释解释: : 根据谱分解定理, 若已知功率谱(或自相关函数), 就一定能唯一地求 出等价的信号模型; 谱分解的约束条件是, 分解出的模型系统函数的零、极点必须都在单 位园内部, 这就保证了谱分解的唯一性. 按谱分解定理分解得到的 一定是最小相位系统, 因而模型具有可逆 性(即必存在逆系统). 21( )( )( )()xxwPzz H z H z20wkakb001ab| 1k| 1k)(zH1.5.5例题 例例1.5.11.5.1 (谱分解:已知功率谱求信号模型) 已知有理谱为 将上式的 化成 和z变换的形式: 上式可能分解的四种形式如下: a) 零点 ,极点 1.040.4cos()1.25cosj xxPe cosje(0.2)(0.2)()(0.5)(0.5)jj j xxjjeePeee 1 21 1(0.2)(0.2)( )( )( )()(0.5)(0.5)xxwzzPzz H z H zzz (0.2)( )(0.5)zH zz00.2z 0.5pz
