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1、1工程矩阵理论试卷样卷工程矩阵理论试卷样卷 10a一、假如。n nAC1、记。证明：是的子空间。( )n nV AXCAXXA( )V An nC2、若 A 是单位矩阵，求。( )V A3、若，。求这里 V（A）的一组基及其维数。2n 0011A4、假如。问：对上一题中的和，是否为直和？说明理2 2( )W AXCAXO( )V A( )W A( )( )V AW A由。解：1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有，。,( )x yV A()( )xyV A( )kxV A设，,( )x yV AkF，()()A xyAxAyxAyAxy A()( )xyV A， ()()A
2、kxkAxkxAkx A( )kxV A是的子空间。( )V An nC2、若 A 是单位矩阵，则，因为对单位阵 I 来说，恒成立，故，( )n nV AXCIXXIIXXI。( )n nV AC3、若，设，有，即，2n 0011AabXcdAXXA， 有，故=00001111000ababcdcdbbacbdddbacdbdd 0b acd0aXcac000 0a cca故 X 的一组基为，维数为 2。0010 1101, 24、，即，其基为。2 2( )W AXCAXO( )( )W AK A1001 1001, 下面计算 ，若 ，则是直和。dim( ( )( )V AW Adim( (
3、)( )0V AW A。dim( ( )( )dim( )dim( )dim( ( )( )QV AW AV AW AV AW A=（、基的极大线性无关组） ，dim( ( )( )V AW A( )V A( )W A011010101010 000100010110 101001100001 110111010000 为极大线性无关组（可以不求，从上式即可看出） ，001001 110101, dim( ( )( )3V AW Adim( ( )( )dim( )dim( )dim( ( )( ) 22310 V AW AV AW AV AW A+不是直和。( )W A( )V A二、假如，
4、在上定义变换如下：。1100A10 10B2 2C2 2(),f XAXBXC1、证明：是上的线性变换。f2 2C2、求在的基下的矩阵 M。f2 2C 1110 00E1201 00E2100 10E220001E3、试求 M 的 jordan 标准形，并写出的最小多项式。f4、问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？2 2Cf解：1、 有：2 2XC()f XAXB，有加法封闭2 2,X YC()()()( )f XYA XY BAXBAYBf Xf Y，有数乘封闭kC ()()()f kXA kX BkAXBkf X是上的线性变换。f2 2C32、 1111101010 000010
5、00()f E1211011010 00001000()f E2111001010 00101000()f E2211001010 00011000()f E11122122111221221111 0000 0000 0000()()f E E E EE E E E 1111000000000000M 3、31111 0001000 000()IM M 的若当标准形为，的最小多项式为1000 0000 0000 0000J f1( )()m 4、，基础解系为， 0 1111 000000000 0000IM 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 ，基础解系为1 0111 0100
6、0010 0001IM 1 1 1 1 这四个基础解系所对应的基均线性无关，故能找到找到的基，使得的矩阵为对角阵。2 2Cf三、设的子空间，求，使得。3R20( , , )Vx y z xyz11 2, , 0V 0min V 解：思路：求 V 的基由该基生成；12, 0 01122kk 4的含义是指在 V 中找一向量，使得的距离最短，即寻找在 V 中的正0min V 0 0 投影。作图如右侧。由，得 V 的基为，20( , , )Vx y z xyz12 1 0 21 0 1 则，0V 01122kk 01122kk 或010200, 0()V 11220111122101112202112
7、222020000,kkkkkkkk 112101122202523223, 112 01122 12232 33223 221052300100223001kkkkkkkk 四、设，求及矩阵函数。308 316 205A 100502AAAte解：23083831611125205()()()IA （2 重根）1211 时，故 A 的 jordan 标准形为，A 的最小多项式为21 Q2()rIA 100 011 001J 。211( )()()m 令， 100502( )f xxx2( )( ) ( )f xm x q xabxcx10050112 1111( )( ) ( )fmqabc
8、abc 100501121111()()()() ()fmqabcabc u r0 u r0 u ru rV59949110050100505022()( ) ( )( ) ( )fxxmx q xm x qxbcxbc 26025abc 10050222625( )( ) ( )f xxxm x q xx（计算略）22625( )( ) ( )f Am A q AIA令 ，( )xtp xe2( )g xabxcx11( )( )tpegabc11()()tpegabc112()()tptegbc(太麻烦了，不算啦！)abc2( )Atp AeaIbAcA五、已知矩阵 A 的特征多项式及最小
9、多项式都等于，并且矩阵。( )AC ( )m 223()() 200 130 123B 1、分别给出 A 和 B 的 jordan 标准形；2、问：A 与 B 是否相似？为什么？解：A 的特征多项式及最小多项式都等于，故 A 的 jordan 标准形为：Q( )AC ( )m 223()() ，200 031 003AJ 2200 13023 123()()IB 200 031 003BJ A 和 B 有相同的 jordan 标准形，故 A、B 相似。Q6六、已知矩阵，求 A 的广义逆矩阵。4 511000220000000000023A A解：对 A 进行分块：110002200000000
10、000023MAN0M AN 对进行满秩分解，11 22M11 12M 11111121 1121211212110() () ()M 对进行满秩分解，23()N 2323()()NI11132222323333()()NII 5 43 1321311510 1151000000000000000A 七、证明题：1、假如是欧几里德空间 V 中单位向量，V 上的线性变换如下：对任意，（镜 fxV2( ),f xxx 像变换） 。证明：是 V 上的正交变换。f证明：要证是 V 上的正交变换，只要证明下的矩阵是一个正交矩阵即可。ff将扩充 V 上的一组标准正交基， 23,n 22( ),f 722222(),f 2(),nnnnf 22100 0100001( ,)( ,)nnf 可看出，下的矩阵中，所有的行向量或列向量均为单位正交向量，故是 V 上的正交变换。ff2、设 H 阵 A，B 均是正定的，并且 AB=BA，证明：AB 是正定矩阵。证明： A，B 均是正定的 H 阵，故，且酉矩阵 P、Q，s
