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1、第二章气体动理论13 第 5 章 气体动理论本章提要1. 气体的微观图像与宏观性质气体是由大量分子组成的，1mol 气体所包含的分子数为2310023.6。分 子之间存在相互作用力。 分子在做永不停息的无规则的运动，其运动程度与温度 有关。 在分子层次上，理想气体满足如下条件： （1）分子本身的大小与分子之间平均距离相比可以忽略不计，分子可看作 质点。 （2）除碰撞的瞬间以外，分子之间的相互作用力可以忽略不计，分子所受 的重力也忽略不计。 （3）气体分子间的碰撞以及分子与器壁之间的碰撞为完全弹性碰撞。2. 理想气体压强与温度理想气体的压强公式nvnmp32312其中，221vm，称分子平均平动
2、动能，它表征了分子运动的剧烈程度。理想气体的温度公式32kT温度公式表明，温度是大量分子热运动剧烈程度的标志。3. 阿伏伽德罗定律在相同的温度和压强下，各种气体在相同体积内所包含的分子数相同。4. 道尔顿分压定律混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。5. 麦克斯韦速率分布在平衡态下，气体分子服从如下麦克斯韦速率分布规律23 2 22d4d2mvkTNmevvNkT第二章气体动理论14 麦克斯韦速率分布函数23 222d( )4d2mv kTNmf vevN vkT其表征了处于起点速率为v的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。6. 分子速率的三种统计值从麦克斯韦速率分布规律可以导出分子速
3、率的三种统计值 最概然速率P2kTvmPv 表明气体分子速率并非从小到大平均分配，速率太大或太小的分子数很少， 速率在Pv 附近的分子数最多。 平均速率8kTvm平均速率v是描述分子运动状况的重要参量， 为所有分子的速率之和除以总分子 数。 方均根速率3kTvm7. 能量均分定理描述一个物体空间位置所需的独立坐标数称该物体的自由度。单原子分子 的自由度为 3，刚性双原子分子的自由度为5，非刚性双原子分子的自由度为6。 能量均分定理 在温度为 T 的气体中，分子热运动动能平均分配到分子的每个自由度上，每个自由度的平均动能都是12kT。8. 理想气体的内能 每个气体分子的热运动动能以及分子与分子之
4、间相互作用势能的和构成 了气体的总能量，这个能量称为气体的内能。 1mol 理想气体的内能为0A22iiENkTRT第二章气体动理论15 质量为 M，摩尔质量为的理想气体的内能为2M iERT由此可见，对于一定量的理想气体，其内能只是温度的单值函数。气体分子的输运规律气体的黏滞现象 牛顿黏滞定律对气体同样适用ddufSy其中，为气体黏度， f 为作用在相互接触的两气层上的作用力，S为两气层的作用面积。气体的热传导现象气体的热传导遵守如下的傅立叶热传导定律QTStx该定律表明，单位时间内沿x 方向通过面积S的热量与该方向上的温度梯度成 正比，与面积S也成正比。负号表示传热的方向与温度梯度的方向相
5、反。其中 的比例系数称热导率。 气体分子的扩散 气体扩散的基本规律是菲克扩散定律，其表达式为ddNnDStx其中，D 为比例系数，称扩散系数，负号表示气体分子扩散的方向与分子数密度 梯度的方向相反。思考题2-1 若给出一个矩形容器，设内部充有同一种气体， 每一个分子的质量为m， 分子数密度为 n ，由此可以导出理想气体的压强公式。若容器是一个球形的，压 强公式的形式仍然是不变的。请证明之。 答：在球形容器内，分子运动的轨迹如图2-1 中带箭头实线所示。设分子i 的速率为iv ，分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞，分子碰撞器壁只改变分子运动 方向，不改变速度的大小，并且， “入射角”等于“反射角”
6、。 对分子 i 来说，在每次和器壁的碰撞中，分子对器壁作用的法向冲量为 2cosimv。该分子每秒钟内与器壁的碰撞次数为2 cosivR，所以，该分子每秒 内作用在器壁上的作用力为第二章气体动理论16 2 2cos2 cosii ivmvmvRR对于总数为 N 的全部分子（分子是全同的， 每一个分子的质量均为m。 ）来说，球形内壁每 秒内所受到的总作用力等于21Ni imFvR由于球形内壁的总面积为24 R，气体的体积为343R。所以，按照压强的定义得211 2 311 4433 3NNii iimvvFNRpmnmvSRNR证毕。2-2 对汽车轮胎打气， 使之达到所需要的压强。 在冬天与夏天
7、， 打入轮胎内 的空气质量是否相同？为什么？ 答：不相同，在冬天打入轮胎内的空气质量要大一些。因为夏天气温高，空 气分子的平均平动能较大； 冬天气温低， 空气分子的平均平动能较小。 根据理想 气体的压强公式 23pn可知，当压强相同时，在冬天打入轮胎内的空气密度（即质量）要大一些。2-3 根据理想气体的温度公式， 当0TK 时， 0。 由此可推断，0TK(即 273)时，分子将停止运动。对此推论，你有何看法？请评判之。 答：这种看法是错误的。 因为理想气体的温度公式只适用于理想气体，而在 273时，已经不存在理想气体了，温度公式也就不成立了，如此的推论自然 也就是错误的。事实上，即使达到273
8、，分子也还在作微小的振动，运动仍 不会停止。2-4 范德瓦耳斯方程是从理论上推出的，更精确的昂内斯方程则是一个半经验方程。 从形式上看， 范德瓦耳斯方程可视为昂内斯方程的一个特例，请证明之。式（2-31）是由体积V表达的昂内斯方程，你能否给出由压强p表达的昂内斯方程？ 答： （1）由RTbV Vap)(2得O R 图 2-1 vi 第二章气体动理论17 RT VabVapbpV2整理得2VabVaRTpbpV令RTpbA则aB，abC把、带入2BCpVAVV 此式即为昂内斯方程。（2）以压强展开的昂内斯方程为2pVABpC p2-5 麦克斯韦速率分布是指气体在平衡态下的统计分布。一般而言， 速
9、率分 布函数还可以有其他形式。 但是，无论何种形式， 它们的意义是相同的。 设)(vf 为速率分布函数，请思考下列各式所代表的意义：（1）( )df vv ； （2）( )dNf vv； （3）21( )dvvf vv； （4）21( )dvvNf v v 。答： （1）( )df vv表示速率分布在vvvd区间内的分子数占总分子数的百分比。（2）( )dNf vv表示速率分布在vvvd区间内的气体分子数。（3）21( )dvvf v v 表示速率分布在21 vv区间内的分子数占总分子数的百分比。（4）21( )dvvNf vv 表示速率分布在21 vv区间内的气体分子数。2-6 若引入无量纲
10、的量pvvu，试证明麦克斯韦速率分布规律可表达为224( )dduf uueuu第二章气体动理论18 并由此说明 v0v ）（1） 画出该粒子的速率分布曲线（2） 由0v 求出常量C （3） 求粒子的平均速率解: （1）粒子的速率分布曲线如图2-2 所示（2） 由于01000( )ddv f vvC vCv由分布函数的归一化条件 0d1fvv，得01Cv则01Cv（3） 粒子平均速率为0000 01( )dd2Vvvvf vvvvv2-12 用流体静力学原理及理想气体压强公式导出等温条件下单位体积中大气分子数随高度的变化为() 0gZRTnn e其中，0n 为Z0 处单位体积的分子数，为分子平
11、均摩尔质量。 解: 由流体静力学可知，大气压强随高度的增加而减小，并且满足 ddpgZ其中， p 为大气压强、 Z 为高度、为大气分子的密度、 g 为重力加速度。将上式分离变量，可写为ddpg Z设分子质量为 m、分子数密度为n，则nm。将其带入上式，得ddpnmg Z由理想气体压强公式p=nkT，考虑到等温条件，可得dp=kTdn。将其带入上 式 ，整理后可得 ddnm gZnk T 积分上式，并考虑到Z=0 时，n=n0，可得O v f(v) C vo 图 2-2 第二章气体动理论25 ()() 00mgZkTgZRTnn en e2-13 假定海平面处的大气压为51000. 1Pa，大气
12、等温并保持0，那么，珠穆朗玛峰顶（海拔8882m）处的大气压为多少？ 解：由大气压强公式可得：RTgZkTmgZ epepzp00)(带入已知数据可得：(Pa)1029.31000.1)(427331.888828 .91029 53ezp2-14 储有氧气的容器以速率v100ms-1运动，假设容器突然停止运动， 全部定向运动的动能转变为气体分子热运动动能，容器中氧气的温度将上升多 少? 解: 设每一个分子的质量为m，1mol 气体的质量为，总分子数为 N，则全 部分子的定向运动动能为212KENm v按照能量均分原理，每一个分子的热运动动能为2ikTN 个分子的热运动动能为2iENkT温度变
13、化时，热运动动能的增量为2iENkT按题意kEE ，并考虑到氧气的自由度为5，可得21522NmvNk T即223232 101007.7(K)5558.31mvvTkR2-15 在容积为33m100.2的容器中，有内能为21075.6J的刚性双原子分子理想气体。 （1）计算气体的压强；（2）设分子总数为22104. 5个，计算气体的温度和分子的平均平动动能。 解： （1）由理想气体状态方程RTMpV第二章气体动理论26 和理想气体内能公式2MiERT再考虑到 VNn，可得(Pa)1035.1 100.251075.622532iVEp（2）由pnkT得53 2 22231.35102.0 1
14、03.6210 (K)5.4 101.38 10ppVTnkNk23221331.38 103.62 107.4910(J)22kT2-16 一个长为L、半径21Rcm 的蒸汽导管， 外面包围一层厚度 2cm 的绝 热材料（其热导率0.1 Wm-1K-1） 。蒸汽的温度为 100，绝热层外表面的温度为 20。单位时间单位长度传出的热量是多少？ 解：如图 2-3 所示，设蒸汽导管的半径为1R，绝热层的外半径为R2。在绝 缘层中取内半径为r、外半径为 r+dr 的薄层，由热传导定律SxTtQ可知，单位时间内通过此薄层的热量为dd2ddQTrLtr 由于绝缘层内外温度恒定，所以在稳 态条件下， dQ/dt 是常数。将上式移项 并积分得2211d ddd2TRTRQ rL tTr2 21 1ddln2Q RL tTTR于是，单位时间内单位长度的绝缘层传出的热量为12212()ddlnTTQqRL t RR2 R1 r drL 图 2-3 第二章气体动理论27 -120.1(10020) 4ln271.8(Wm )
