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1、6难点难点 16 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简 和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的 解题效果，做到事半功倍. 难点磁场()已知243,cos()=1312,sin(+)=53,求 sin2的值_. 案例探究例 1不查表求 sin220+cos280+3cos20cos80的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求 较高.属于级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一
2、利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更 简单更精妙，需认真体会.解法一：sin220+cos280+3sin220cos80=21(1cos40)+21(1+cos160)+ 3sin20cos80=121cos40+21cos160+3sin20cos(60+20)=121cos40+21(cos120cos40sin120sin40)+3sin20(cos60cos20sin60sin20)=121cos4041cos4043sin40+43sin4023sin220=143cos4043(1cos40)= 41解法二：设 x=sin220+cos280+3sin20co
3、s80y=cos220+sin2803cos20sin80，则x+y=1+13sin60=21，xy=cos40+cos160+3sin100=2sin100sin60+3sin100=0x=y=41，即 x=sin220+cos280+3sin20cos80=41.例 2设关于 x 的函数 y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值为 f(a)，试确定满足 f(a)=21的 a 值，并对此时的 a 值求 y 的最大值.6命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思 维能力.属级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易考查三角函数
4、的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、 分类讲座等.解：由 y=2(cosx2a)22242 aa及 cosx1，1得：f(a) )2( 41)22( 122)2( 12aaaaaaf(a)=21,14a=21a=812,+)故22a2a1=21，解得：a=1，此时，y=2(cosx+21)2+21，当 cosx=1 时，即 x=2k，kZ，ymax=5.例 3已知函数 f(x)=2cosxsin(x+3)3sin2x+sinxcosx(1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x
5、的值；(3)若当 x12，127时，f(x)的反函数为 f1(x)，求 f-1(1)的值.命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能 力，综合运用知识的能力，属级题目. 知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求 f-1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+3)3sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos3+cosxsin3)3sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+3)f(x)的最小正周期 T=(2)当 2x+3=
6、2k2，即 x=k125(kZ)时，f(x)取得最小值2.(3)令 2sin(2x+3)=1，又 x27,2,2x+33,23,2x+3=65，则6x=4，故 f-1(1)= 4.锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： 1.求值问题的基本类型：1给角求值，2给值求值，3给式求值，4求函数式的 最值或值域，5化简求值. 2.技巧与方法：1要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用. 3对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手 的问题，可利用分析法.4求最值问题，常用
7、配方法、换元法来解决. 歼灭难点训练 一、选择题1.()已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均 tan、tan，且，(2,2)，则 tan2的值是( )A.21B.2 C.34D. 21或2二、填空题2.()已知 sin=53，(2，)，tan()= 21，则 tan(2)=_.3.()设(43,4)，(0，4)，cos(4)=53，sin(43+)=135，则 sin(+)=_. 三、解答题4.不查表求值:.10cos1)370tan31 (100sin130sin25.已知 cos(4+x)=53，(1217x47)，求xxx tan1sin22sin2的值.6.()已知=3
8、8，且k(kZ).求)44(sin42sin2csc)cos(12 的最大值及最大值时的条件.7.()如右图，扇形 OAB 的半径为 1，中心角 60， 四边形 PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点 P 的位置， 并求此最大面积.8.()已知 cos+sin=3，sin+cos的取值范围是 D，xD，求函数 y=10432log21 xx的最小值，并求取得最小值时6x 的值. 参考答案难点磁场解法一：243,04.+43,sin()=.54)(sin1)cos(,135)(cos122sin2=sin()+(+) =sin()cos(+)+cos()sin(+).6556)53(1
9、312)54(135解法二：sin()=135,cos(+)=54,sin2+sin2=2sin(+)cos()=6572sin2sin2=2cos(+)sin()=6540sin2=6556)6540 6572(21歼灭难点训练 一、1.解析：a1，tan+tan=4a0.tan+tan=3a+10,又、(2,2)、(2,),则2(2,0),又 tan(+)=342tan12tan2 )tan(,34 ) 13(14 tantan1tantan2又aa,整理得 2tan222tan32 =0.解得 tan2=2.答案：B2.解析：sin=53,(2,),cos=54则 tan=43,又 ta
10、n()=21可得 tan=21,247)34()43(1)34(432tantan1tantan)2tan(.34)21(1)21(2tan1tan22tan222 6答案：2473.解析：(43,4),4(0, 2),又 cos(4)=53.6556)sin(.6556 135 54)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()43()4cos(2)43()4sin()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4, 0(,54)4sin(即答案：6556三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sinsinco
11、scos)cos(sinsin2cossin1sin2cossin2 tan1sin22sin54)4sin(,2435,47 1217.257)4(2cos2sin,53)4cos(:. 522 xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxx又解 Q2)32 2sin(22)21()32 2sin(4.32 243824,3822cos2sin42)2sin2(sin2)2sin21 21(42cos2cos22sin2)22cos(1 42sin1)cos1 (2sin)44(sin42sin2csc)cos(1:. 62222 ttQ令解kQ（kZ Z）,32 232 2k（kZ Z）
12、6当,2232 2k即34k（kZ Z）时,)32 2sin(的最小值为1.7.解：以 OA 为 x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设 P 的坐标为(cos,sin)， 则PS=sin.直线 OB 的方程为 y=3x，直线 PQ 的方程为 y=sin.联立解之得Q(33sin；sin)，所以PQ=cos33sin.于是 SPQRS=sin(cos33sin)=33(3sincossin2)=33(23sin222cos1)=33(23sin2+21cos221)= 33sin(2+6)63.03,62+665.21sin(2+6)1.sin(2+6)=1 时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，=6，点 P 为的中点，P(21,23).8.解：设 u=sin+cos.则 u2+(3)2=(sin+cos)2+(cos+sin)2=2+2sin(+)4.u21,1u1.即 D=1,1,设 t=32 x,1x1,1t5.x=232t.21,232,2,258log2log82log,0log.82,2,42.82241 421 42104325 . 05 . 05 . 0min5 . 0max2 xxtyMMyMttttttt xxM此时时时是减函数在时即当且仅当Q
