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1、1. 已知函数( )ln , ( ).xf xx g xe若函数 (x) = f (x)1 1x x+ -，求函数 (x)的单调区间；设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间 (1,+)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切解：（） 1( )1xxf xx11lnxxx， 22211 121 xxx xxx0x 且1x ， 0x函数( )x的单调递增区间为 ，和11 , 0（）1( )fxx ，0 01()fxx， 切线l的方程为00 01ln()yxxxx, 即0 01ln1yxxx , 设直线l与曲线( )yg x相切于点1 1( ,)x
2、x e，( )xg xe，101xex，10lnxx ,.0ln 1 01()xg xex直线l也为0 0011lnyxxxx， 即0000ln11xyxxxx， 由得 0 0 00ln1ln1xxxx ，0 0 01ln1xxx下证：在区间（1,+）上0x存在且唯一.由（）可知，( )x11lnxxx在区间1,+（）上递增又12( )ln011eeeee，22 22 2213()ln011eeeeee，结合零点存在性定理，说明方程( )0x必在区间2( ,)e e上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x，故结论成立2. 设函数221( )(2)ln(0)axf xaxax (1)讨论函数( )
3、f x在定义域内的单调性；(2)当( 3, 2)a 时，任意12,1,3x x ，12(ln3)2ln3 |()()|maf xf x恒成 立，求实数m的取值范围解：221( )2afxaxx222(2)1axa x x2(1)(21)axx x 当2a 时，11 2a ，增区间为1 1(, )2a ，减区间为1(0,)a ，1( ,)2 当2a 时，11 2a ，减区间为(0,)当20a 时，11 2a ，增区间为11( ,)2a ，减区间为1(0, )2，1(,)a 由知，当( 3, 2)a 时，( )f x在1,3上单调递减，12,1,3x x ，12|()()|f xf x(1)(3)
4、ff1(12 )(2)ln36 3aaa ，即12|()()|f xf x24(2)ln33aa 12(ln3)2ln3 |()()|maf xf x恒成立，(ln3)2ln3ma24(2)ln33aa ，即243maa ，又0a ，243ma ( 3, 2)a ，132384339a ，m13 3 3. 设3x 是函数 23,xf xxaxb exR的一个极值点.（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求 f x的单调区间；（2）设 2250,4xag xae，若存在12,0,4 ，使得 121fg成 立，求a的取值范围.解：（1） 23 xf xxaxb e 32321xxfxxaexax
5、b e232xxaxba e 由题意得： 30f，即23320aba，23ba 2323xf xxaxae且 331xfxxxae 令 0fx 得13x ，21xa 3x 是函数 23,xf xxaxb exR的一个极值点 12xx，即4a 故a与b的关系式为23,4baa . 当4a 时，213xa ，由 0fx 得单增区间为：3,1a ；由 0fx 得单减区间为：,3和1,a ；当4a 时，213xa ，由 0fx 得单增区间为：1,3a ；由 0fx 得单减区间为：,1a 和3,；（2）由（1）知：当0a 时，210xa ， f x在0,3上单调递增，在 3,4上单调递减，,)32()4
6、(),0(min)(3 mineaffxf max36f xfa, f x在0,4上的值域为6,)32(3aea. 易知 225 4xg xae在0,4上是增函数, g x在0,4上的值域为2242525,44aae. 由于2 22516042aaa，又要存在12,0,4 ，使得 121fg成立，必须且只须2025614aaa解得:302a . 所以，a的取值范围为30,2. 4. 设函数11ln)(xaaxxxf（）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的1a)(xf 坐标；（）当时，求函数的单调区间；210 a)(xf（）当时，设函数，若对于，31a1252)(2bxxxgex,
7、01（0，12x使成立，求实数b的取值范围.（ 是自然对数的底，）)(1xf)(2xge13 e解：函数的定义域为， )(xf)0(，211)(xaaxxf（）设点，当时，则)0)(,(000xyxP1a1ln)(xxxf，1ln000xxy11)(xxf000001ln11)(xxx xxf解得，故点P 的坐标为2 0ex )1(22ee，（）221)(xaaxaxxf22)1)(1()1)(1( xaaxxaxaaxx 210 a011 aa当，或时，当时，10 xaax10)( xfaax110)( xf故当时，函数的单调递增区间为；210 a)(xf)1, 1 (aa单调递减区间为，)
8、 1 , 0(),1( aa（）当时，由（）可知函数在上是31a132 3ln)(xxxxf)(xf) 10，（减函数，在上为增函数，在上为减函数，且，)21，（2(e，32) 1 (feeef32 3)(，又，ee eeefef3) 1(3 322) 1 ()(2213 e3) 1(2e，故函数在上的最小值为) 1 ()(fef)(xf, 0(e32若对于，使成立在上的最小值不大于, 01ex （ 1 , 02x)(1xf)(2xg)(xg 1 , 0在上的最小值（*） )(xf, 0(e32又，125)(1252)(222bbxbxxxg 1 , 0x当时，在上为增函数，与（*）0b)(x
9、g 1 , 032 125)0()(min gxg矛盾当时，10 b125)()(2 minbbgxg由及得，32 1252b10 b121 b当时，在上为减函数，1b)(xg 1 , 0，此时32 12172127) 1 ()(minbgxg1b综上，的取值范围是b）， 215. 设函数( )2lnqf xpxxx ，且( )2pf eqee ，其中e是自然对数的底数. 求p与q的关系；若( )f x在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；设2( )eg xx ，若在 1,e上至少存在一点0x，使得0()f x0()g x成立，求实 数p的取值范围.解：（1）由题意得( )2ln2qpf e
10、peeqeee1()()0pq ee而10ee ，所以p、q的关系为pq.（2）由（1）知( )2ln2lnqpf xpxxpxxxx ， 2 2222( )ppxxpfxpxxx .令2( )2h xpxxp，要使( )f x在其定义域(0,)内单调，只需( )0( )0h xh x或恒成立.当0p 时，( )2h xx ，因为x0，所以( )h x0， 22( )xfxx 0， ( )f x在(0,)内是单调递减函数，即0p 适合题意；当p0时，2( )2h xpxxp，min1( )h xpp ，只需10pp ，即1( )0,( )0ph xfx时， ( )f x在(0,)内为单调递增函
11、数，故1p 适合题意.当p0时，2( )2h xpxxp，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为 1(0,)xp ，只要(0)0h，即0p 时，( )0h x 在(0,)恒成立，故p0适合题意. 综上所述，p的取值范围为10pp或.（3）2( )eg xx 在 1,e上是减函数，xe时，min( )2g x；1x 时，max( )2g xe，即( )2,2g xe，当0p 时，由（2）知( )f x在 1,e上递减max( )(1)0f xf2，不合题 意；当0p1时，由 11,0xexx ，又由（2）知当1p 时，( )f x在 1,e上是增函数，1111( )()2ln2ln2ln2f xp
12、xxxxeeexxee 2，不合题意；当1p 时，由（2）知( )f x在 1,e上是增函数，(1)0f2，又( )g x在 1,e上是减函数，故只需max( )f xmin( )g x， 1,xe，而max1( )( )()2lnf xf ep eee ，min( )2g x， 即 1()2lnp eee 2，解得p24 1e e ，综上，p的取值范围是24()1e e， .6. 已知函数.21( )ln(1) (0)2f xxaxax aRa，求函数的单调增区间；( )f x记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个不同点，( )F xC1122( ,)(,)A x yB xy、C如果曲线上存在
13、点，使得：；曲线在点处的切C00(,)M xy12 02xxxCM线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是AB( )F x( )f x 否存在中值相依切线，请说明理由.解：（）函数( )f x 的定义域是(0,) . 由已知得，1(1)()1( )1a xxafxaxaxx . 当0a 时, 令( )0fx ,解得01x;函数( )f x 在(0,1)上单调递增 当0a 时，当11a 时，即1a 时, 令( )0fx ,解得10xa 或1x ;函数( )f x 在1(0,)a和(1,) 上单调递增当11a 时，即1a 时, 显然，函数( )f x 在(0,) 上单调递增； 当11a
