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1、1、已知，若互不相容，则= 1/3 ( )1 3P A BA,)( BAP2、设 P(A | B)=1/4, P( )=2/3, P(B | A)=1/6，则 P(A) 1/2 B3、已知，若互不相容，则= 0.6 ( )0.3, ()0.4P BP ABUBA,( )P A4、已知,则 0.1 ( )0.4,( )0.7,(|)0.5P AP BP B A()P AB 5、设，若与独立，则 0.6 ( )0.8,()0.92P AP ABUAB( )P B 6、已知， 则 0.25 3 . 0)(AP4 . 0)(BP5 . 0)(BAP()P B AB U7、一批产品共 10 件，其中有
2、2 件次品，从这批产品中任取 3 件，则取出的 3 件 中恰有一件次品的概率为 7/15 8、一个口袋中装有 4 个白球和 2 个黑球,现从袋中取球两次,每次一球, 取出后不 再放回,则两球均为白球的概率为 2/5 两球颜色相同的概率为 7/15 两球 中至少有一个是白球的概率为 14/15 9、设随机变量的分布律为X记的分布函数为，则 0.4 X()F X(4)F 10、设随机变量服从正态分布 N(9,16)，(2)=0.9772，则概率 P90 的样本，是未知参数，记，求的矩估计量。 niiXnX11解： ，23)(XEXXnAnii 111， 。1)(AXEX23X3231、设总体具有分
3、布律XX0123kp22 (1)21 2其中为未知参数。求的矩估计量。102解：，22()01 2 (1)23 (1 2 )34E X ，XXnAnii 111令，即，故得的矩估计量为。1)(AXE34X1(3)4X32、设随机变量的概率密度为 求：(1) 的值；Xsin ,0( )0,Axxf x 其他A(2) X 的分布函数。)(xF解：(1) 01( )sin212f x dxAxdxAA(2)0( )00xxF xdx 当时，0011( )=0sin(1 cos )22xxF xdttdtx 当0时，001( )0sin012xxF xdttdtdt 当时，0,01( )(1 cos)
4、,02,1x F xx x 33、设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=，0 x0 4A - 3Be - 2x x 0) 求： (1)常数 A 和 B； (2)概率密度 f(x)。 解：(1) 1=F(+)= 4A A=1/4, 因为 F(x)在 X=0 处右连续，即 F(0+)=F(0)， 注意 F(0+)=4A-3B，而 F(0)=0，所以 B= 1/3即 F(x)=，注意 Xexp(2)0 x0 1 - e - 2x x 0)(2)X 的概率密度 f(x)=F(x)= . 2e - 2x x 0 0 x0)34、设二维随机变量(X, Y)在由直线与两坐标轴围成的区域上服从31xyD均匀
5、分布，求边缘概率密度。( ),( )XYfxfy解： 6,( , )( , )0,( , )x yDf x yx yD1 30116,06(1 3 ),0( )( , )33 0,0,xXdyxxxfxf x y dy 其他其他1 3 02(1),016,01( )( , )0,0,yYyydxyfyf x y dx 其他其他35、某商场出售的手机中，甲公司的产品占 80%，乙公司的产品占 20%，甲产 品的合格率为 95%，乙产品的合格率为 97%，求某顾客买一手机是合格品的概 率。 解：设事件 A1=取出的为甲厂的产品, A2=取出的为乙厂的产品, 事件 B=取出的为合格品。 由已知 P(
6、A1)=0.8, P(A2)=0.2, P(B|A1)=095, P(B|A2)=097 , 所求的为 P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)=0.80.95+0.20.97=0.76+0.194=0.954 36、某仓库有一批产品 225 件，它由甲、乙两厂共同生产，其中甲、乙两厂分 别有正品 100 件与 90 件，次品分别有 20 件与 15 件,现从仓库中任取一件,在已 知取到次品的条件下,求取得乙厂产品的概率。 解：设事件 A取得产品为甲厂生产的，事件 B取得产品为甲厂生产的，事 件 C取得产品为次品 由题设，用全概率公式，P(C)=P(A)P(C|A)+P
7、(B)P(C|B)= 120/22520/120+105/22515/105=35/225由贝叶斯公式， P(B|C)=P(BC)/P(C)= P(B)P(C|B) /P(C)= （15/225）/（35/225） =3/7 在已知取到次品的条件下,取得乙厂产品的概率为 3/737、由临床记录，被诊断患癌症者试验反应为阳性的占 95%，非癌症患者试验 反应为阴性的占 98%，现用这种试验对人群进行普查，如果已知这些人中患有 癌症的概率为 0.4%，试求试验反映为阳性的人，诊断确实患癌症的概率。 解：设事件 A试验反映为阳性，事件试验反映为阴性，事件 B诊断确A 实患癌症，事件未患癌症B 由题设
8、知道 P(B)=0.004，P()=0.996，P(A|B)=0.95，P(|)=0.98，BA B 则 P(A|)=1- P(|)=1-0.98=0.02BA B 由全概公式： P(A)=P(B) P(A|B)+ P()P(A|)BB =0.0040.95+0.9960.02=0.02372 由贝叶斯公式： P(B|A)= P(BA)/P(A)=P(B) P(A|B)/P(A)=0.0040.95/0.02372=01602故试验反映为阳性的确实患癌症的概率 0.1602。38、设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为，求(1)E(XY); (2)Cov(X,Y)。XY 0 1 0 0.1 0
9、.2 1 0.3 0.4试问：X 与 Y 是否相互独立？为什么？ 解：(1) E(XY)=000.1 + 010.2 + 100.3 + 110.4 = 0.4 ； (2) 因为 EX=00.3 + 10.7 = 0.7EY=00.4 + 10.6 = 0.6所以 Cov(X,Y)=E(XY) (EX)(EY) = 0.4 0.70.6 = -0.02 。 当然 X 与 Y 不相互独立，(因为 E(XY) (EX)(EY) 39、某互联网站有 10000 个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问该网站 的概率为 0.2，求在任一时刻有 2100 个以上的用户访问该网站的概率.(取(2.
10、5)=0.9938)。解：设 X 为该时刻访问该网站的用户数，则 XB(n, p)，其中 n=10000，p=0.2。 EX=np=2000，DX=np(1-p)=1600，根据中心极限定理有 近似服从正态分布，X - EXDX所求的为 PX2100=1-PX2100=1-P= 1-(2.5)=1-0.9938=0.0062. X - EXDX100 4040. 对敌阵地进行炮击,每次炮击中,炮弹击中目标的颗数的数学期望为 4,方差为 2.25,试用中心极限定理求在 100 次炮击中,有 380 到 420 颗炮弹击中目标的概率 的近似值. (（1.33）=0.9082, (1.5)=0.93
11、)解：设第 i 次炮击命中，i=1,2,，100,EXi=4,DXi=2.25iXX=求 P(380X420),EX=n EXi=400,DX=n DXi =225 1001iiXP(380X420)=P()=(20/15)-(-20/15)=2 225400420225400380npqnpX(20/15)-1 =2(1.33)-1=2*0.9082-1=0.816441-42、书 P132 习题 3、743、从某面粉厂生产的袋装面粉中抽取 4 袋，测得重量(单位:kg)如下：24.6, 25.4, 24.8, 25.2, 假设袋面粉的重量 XN(, 0.32)，试求的置信水平为 0.95
12、的置信区间。解：=0.05, /2=0.025, u0.025=1.96, =25, n=4, =0.3 ,X因为 u=N(0,1), = u/2 = 251.96 = 250.294Xn0.3 2的置信区间为(24.706, 25.294)。 44、用某仪器间接测量温度，重复五次，测得数据如下：12500，12650，12450，12600，12750 假定温度 XN (,2)，试估计温度的置信水平为 0.99 的置信区间。 解：已知总体 XN(,2),2未知,所以选随机变量 u=，n=5, =0.05) 1( 2ntnSx，1259/11 niixnx2229373.11)(11xxnsi=) 1(2/nt,7764. 2)4(025. 0t=14.82195/9373.117754. 2) 1(2/nSnt=0.05 的总体均值的置信区间为（）) 1(),1(2/2/ntnsxntnsx=（1244.17810，1273.82190）
