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1、1关于圆锥曲线的中点弦问题关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问 题一般有以下三种类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法 等。 一、求中点弦所在直线方程问题一、求中点弦所在直线方程问题例例 1 1 过椭圆内一点 M（2，1）引一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在的直线方程。141622 yx解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016) 12(4)2(8
2、) 14(2222kxkkxk又设直线与椭圆的交点为 A()，B（） ，则是方程的两个根，于是11, yx22, yx21,xx，14)2(82221kkkxx又 M 为 AB 的中点，所以，214)2(4 222 21 kkkxx解得，21k故所求直线方程为。042yx解法二：设直线与椭圆的交点为 A()，B（） ，M（2，1）为 AB 的中点，11, yx22, yx所以，421 xx221 yy又 A、B 两点在椭圆上，则，1642 12 1yx1642 22 2yx两式相减得，0)(4)(2 22 12 22 1yyxx所以，即，21 )(421212121 yyxx xxyy 21A
3、Bk故所求直线方程为。042yx解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 A()，由于中点为 M（2，1） ，yx ,则另一个交点为 B(4-)，yx2 ,因为 A、B 两点在椭圆上，所以有， 16)2(4)4(1642222yxyx两式相减得，042yx由于过 A、B 的直线只有一条，故所求直线方程为。042yx2二、求弦中点的轨迹方程问题二、求弦中点的轨迹方程问题例例 2 2 过椭圆上一点 P（-8，0）作直线交椭圆于 Q 点，求 PQ 中点的轨迹方程。1366422 yx解法一：设弦 PQ 中点 M（），弦端点 P（），Q（），yx,11, yx22, yx则有，两式相减得， 5761695
4、761692 22 22 12 1 yxyx0)(16)(92 22 12 22 1yyxx又因为，所以，xxx221yyy2210)(216)(292121yyyxxx所以，而，故。yx xxyy 1692121 )8(0 xykPQ8169 xy yx化简可得 （）。01672922yxx8x解法二：设弦中点 M（），Q（），由，可得，yx,11, yx281xx21yy 821xxyy21又因为 Q 在椭圆上，所以，即，136642 12 1yx1364 64)4(422 yx所以 PQ 中点 M 的轨迹方程为 （）。1916)4(22 yx8x三、弦中点的坐标问题三、弦中点的坐标问题例
5、例 3 3 求直线被抛物线截得线段的中点坐标。1 xyxy42解：解法一：设直线与抛物线交于， ，其中点，1 xyxy42),(11yxA),(22yxB),(00yxP由题意得， 消去 y 得，即， xyxy412xx4) 1(20162 xx所以，即中点坐标为。3221 0xxx2100 xy)2 , 3(解法二：设直线与抛物线交于， ，其中点，1 xyxy42),(11yxA),(22yxB),(00yxP由题意得，两式相减得，所以， 22 212 1 44 xyxy)(4122 12 2xxyy4)(121212 xxyyyy所以，即，即中点坐标为。421 yy20y3100 yx)2
6、 , 3(3上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论引理 设 A、B 是二次曲线 C：022FEyDxCyAx上的两点，P),(00yx为弦 AB 的中点，则)02(22 0 00ECyECyDAxkAB 。设 A),(11yx、B),(22yx则0112 12 1FEyDxCyAx（1）0222 22 2FEyDxCyAx（2）)2() 1 (得0)()()()(212121212121yyExxDyyyyCxxxxA0)()()(2)(22121210210yyE
7、xxDyyCyxxAx0)(2()(2(210210yyECyxxDAx020 ECy21xx ECyDAx xxyy 002121 22即ECyDAxkAB00 22。（说明：当BA 时，上面的结论就是过二次曲线 C 上的点 P),(00yx的切线斜率公式，即ECyDAxk00 22）推论推论 1 1 设圆022FEyDxyx的弦 AB 的中点为P),(00yx（)00y，则EyDxkAB00 22。 （假设点 P 在圆上时，则过点 P 的切线斜率为）推论推论 2 2 设椭圆12222 by ax的弦 AB 的中点为 P),(00yx（)00y，则00 22yx abkAB 。（注：对 ab
8、 也成立。假设点 P 在椭圆上，则过点 P 的切线斜率为00 22yx abk ）推论推论 3 3 设双曲线12222 by ax的弦 AB 的中点为 P),(00yx（)00y则00 22yx abkAB 。（假设点 P 在双曲线上，则过 P 点的切线斜率为00 22yx abk ）推论推论 4 4 设抛物线pxy22的弦 AB 的中点为 P),(00yx（)00y则0ypkAB 。（假设点 P 在抛物线上，则过点 P 的切线斜率为)0ypk 我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。例例 1 1、求椭圆1162522 yx斜率为 3 的弦的中点轨迹方程。EyDxk00 224
9、解：设 P（x，y）是所求轨迹上的任一点，则有yx25163 ，故所示的轨迹方程为 16x+75y=0 )24175 24175(x例例 2 2、已知椭圆),0( 12222 baby axA、B 是椭圆上两点，线段 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴相交于P)0 ,(0x，求证：abaxaba22022 。证明：设 AB 的中点为 T),(11yx，由题设可知 AB 与 x 轴不垂直，01y，11 22yx abkABlAB 11 22xy bakll 的方程为：)(1 11 221xxxy bayy令 y=0 得)(010 11 221xxxy bay02221xbaaxax |1 axb
10、aa|0222abaxaba22022例例 3 3、已知抛物线 C：xy 2，直线, 1) 1(:xkyl要使抛物线 C 上存在关于l对称的两点，k的取值范围 是什么？解：设 C 上两点 A、B 两点关于l对称，AB 的中点为 P),(00yx（)00ykyypkAB12100ky21 0 Pl, 1) 1(00xky, 1) 1(21 0xkkkx1 21 0)21,1 21(kkPP 在抛物线内 ，kk1 21 412, 04423 kkk, 04)22)(2(2 kkkk. 02k与抛物线有关的弦的中点的问题（1）中点弦问题：）中点弦问题：5（上题麻烦了。是圆不用中点法）例例 1 由点向
11、抛物线引弦，求弦的中点的轨迹方程。)0 , 2(xy42分析：解决问题的关键是找到弦的端点 A、B 在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。 解法 1：利用点差法。设端点为 A，B，则，),(11yx),(22yx12 14xy22 24xy两式相减得， )(4122 12 2xxyy式两边同时除以，得， 12xx 4)(1212 12xxyyyy设弦的中点坐标为，则， ),(yxxxx221yyy221又点和点在直线 AB 上，所以有。 ),(yx)0 , 2(1212 2xxyy xy 将、代入得， 整理得。422xyy)2(22xy故得中点的轨迹方程是在抛物线内部的部分。)2(22x
12、yxy42解法 2：设弦 AB 所在直线的方程为，)2( xky6由方程组 消去并整理得， （3） )2(4) 1 ()2(2xyxkyx0842kyky设 A、B、中点，对于方程（3） ，由根与系数的关系，有，),(11yx),(22yx),(yxkyy421代入（1）得kyyy2 221)2(22xy故得所求弦中点的轨迹方程是在抛物线内部的部分。)2(22xyxy42评注：（1）求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点与已知条件的内在联系，列关于，的关系式，进而求出轨迹的方程。),(yxxy（2）弦中点轨迹问题）弦中点轨迹问题设抛物线（）的
13、弦 AB，A，B，弦 AB 的中点 C，pxy220p),(11yx),(22yx),(00yx则有， )2(2) 1 (222 212 1 pxypxy（1）（2）得，)(2212 22 1xxpyy，2121212 yyp xxyy 将，代入上式，并整理得，0212yyy2121 xxyykAB0ypkAB这就是弦的斜率与中点的关系，要学会推导，并能运用。例例 2 已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于 A，B 两点，试求弦 AB 的中点轨迹方程。xy22) 1 , 2(Q解：如图，设弦 AB 的中点为 M，并设 A、B、M 点坐标分别为，根据题意设),(11yx),(22yx),(yx有，
14、 12 12xy， 22 22xy， xxx221， yyy221， 212121 xy xxyy代入得，)(2)(22121xxyyy， 21xx yxxyy12121QBAM oyx7代入得，即。22xyy47)21(2xy评注：本题还有其他解答方法，如设 AB 的方程为，将方程代入，利用根与系1)2(xkyxy22数的关系，求出弦中点的轨迹方程。89例例 6 6 求直线被抛物线截得线段的中点坐标。1 xyxy42解：解法一：设直线与抛物线交于， ，其中点，1 xyxy42),(11yxA),(22yxB),(00yxP由题意得， xyxy412消去 y 得，即，xx4) 1(20162 xx所以，即中点坐标为。3221 0xxx2100 xy)2 , 3(解法二：设直线与抛物线交于， ，其中点，1 xyxy42),(11yxA),(22yxB),(00yxP10由题意得，两式相减得， 22 212 1 44
