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1、什么是数学模型与数学建模什么是数学模型与数学建模什么是数学模型与数学建模数学模型就是对实际问题的一种数学表述。具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图） 。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决“实际问题的一种强有力的数学手段。美国大学生数
2、学建模竞赛的由来：1985 年在美国出现了一种叫做 MCM 的一年一度大大学生数学模型（1987 年全称为 Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为 Mathematical Contest in Modeling,其所写均为 MCM） 。这并不是偶然的。在 1985 年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The William Lowell Putnam mathematical Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛） ，这是由美国数学协会（MAA-即Mathematical Association of America
3、的缩写）主持，于每年 12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年 2 月或 3 月进行。我国自 1989 年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990 年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称 CMCM） ，该项赛事每年 9 月进行。数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同，它来自实际问题或有明确的实际背景。它的宗旨是培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，整个赛事是完成一篇包括问题的阐
4、述分析，模型的假设和建立，计算结果及讨论的论文。通过训练和比赛，同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很大提高，而且在团结合作发挥集体力量攻关，以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有益的锻炼。数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。1. 比例分析法-建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。2. 代数方法-求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。3. 逻辑方法-是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。4. 常微分方程-解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率“的表达式。5. 偏微分
5、方程-解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。1. 回归分析法-用于对函数 f（x）的一组观测值（xi, fi）i=1,2n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。2. 时序分析法-处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。3. 回归分析法-用于对函数 f（x）的一组观测值（xi, fi）i=1,2n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。4. 时序分析法-处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。三、仿真和其他方法1. 计算机仿真（模拟）-实质上是统计估计方法，等效于抽样试验
6、。 离散系统仿真-有一组状态变量。 连续系统仿真-有解析表达式或系统结构图。2. 因子试验法-在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。3. 人工现实法-基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。（参见：齐欢数学模型方法 ，华中理工大学出版社，1996）?数学建模竞赛缘何受大学生青睐新闻背景二六高教社杯全国大学生数学建模竞赛于去年的九月十五日至十九日举行，来自全国三十个省（市、自治区）和香港特区八百六十四所高校的九千九百八十五队参加了比赛。江南大学王艳等同学组成的参赛队荣获最高奖高教社杯，并有二百五十个队获
7、得全国一等奖，七百零二个队获得全国二等奖。去年十二月三十日在人民大会堂举行了颁奖仪式。去年的岁末，京城正飘洒着入冬以来的第一场雪花，而此时在人民大会堂新闻发布厅里却洋溢着青春的气息，来自全国的 200 多位同学和老师举行着全国大学生数学建模竞赛 15 周年庆典暨 2006年高教社杯颁奖仪式。15 年的洗礼，15 年的历程，这项竞赛的规模以年均 25%以上的速度增长，成为目前全国高校规模最大的一项科技课外活动。这项竞赛可以说是一项“舶来品” 。它最先是在 1985 年出现在美国。1989 年在几位教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的数学建模竞赛。经过两三年的参与，师生们都认为这项
8、竞赛有利于学生的全面发展，也是推动数学建模教学在高校迅速发展的好形式。1992 年由中国工业与应用数学学会组织了我国 10个城市的大学生数学模型联赛。教育部领导及时发现并扶植、培育了这一新生事物，决定从 1994 年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。师生们参赛的热情与日俱增。参赛校数从 1992 年的 79 所增加到 2006 年的 864 所；参赛队数从 1992 年的 314 队增加到 2006 年的9985 队；累计达 16 万多大学生（53438 队） 。同时，还出现了学生自发组织的专业和地区性竞赛，例如华东地区数学建模竞赛、苏北地区数学
9、建模竞赛及电工数学建模竞赛等。此外，我国参加美国大学生数学建模竞赛的队伍也在壮大，从 1989 年的 3 校 4 队增加到2006 年的 100 多所院校的 660 队（占 2006 年参赛队总数的 68%） 。建模是数学走向应用的必经之路到底什么是数学建模呢？对此，中科院院士、竞赛全国组委会主任李大潜告诉我们，数学作为一门重要的基础学科和一种精确的科学语言，是以一种极为抽象的形式出现的。这种极为抽象的形式有时会掩盖数学丰富的内涵，并可能对数学的实际应用形成障碍。要用数学方法解决一个实际问题，不论这个问题是来自工程、经济、金融或是社会领域，都必须设法在实际问题与数学之间架设一个桥梁，首先要将这
10、个实际问题化为一个相应的数学问题，然后对这个问题进行分析和计算，最后将所求得的解答回归实际，看能不能有效地回答原先的实际问题。这个全过程，特别是其中的第一步，就称为数学建模，即为所考察的实际问题建立数学模型。“显而易见，数学建模是数学走向应用的必经之路，在应用数学学科中占有特殊重要的地位。 ”李院士还列举了历史上一些沿用至今的著名数学建模。他说，公元前 3 世纪欧几里德建立的欧氏几何学，就是对现实世界的空间形式所提出的一个数学模型。这个模型十分有效，后来虽然有各种重要的发展，但仍一直使用至今。刻卜勒根据第谷的大量天文观测数据所总结出来的行星运动三大规律，后经牛顿利用与距离平方成反比的万有引力公
11、式、从牛顿力学的原理出发给出了严格的证明，更是一个数学建模取得辉煌成就的例子。从古到今，在分析当代数学建模的特征以及开展数学建模竞赛的意义时，李院士认为，今天，应用数学正处于迅速地从传统的应用数学进入现代应用数学的阶段。一个突出的标志是数学的应用范围空前扩展，从传统的力学、物理等领域拓展到化学、生物、经济、金融、信息、材料、环境、能源等各个学科及种种高科技甚至社会领域。数学建模不仅进一步凸现了它的重要性，而且已成为现代应用数学的一个重要组成部分。开展数学建模竞赛活动，在大学开设数学建模、数学实验等课程，努力将数学建模思想融入数学类主干课程，顺应了这个历史潮流，值得大力提倡。题目的实用性打开了创
12、新思维的空间“出版社的资源配置，艾滋病疗法评价与疗效预测，易拉罐形状和尺寸的最优设计，煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制” 。这是刚刚结束的 2006 年大学生数学建模竞赛的题目。纵观历届数学建模大赛，题目的实用性和挑战性成为一个显著特点。这些题目由工程技术、经济管理、社会生活等领域中的实际问题简化加工而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。例如，2006 年的“出版社的资源配置”由高教社提供的素材形成。2004 年的“饮酒驾车”是让学生分析、估计司机饮用少量酒后多长时间驾车才符合交通规则。竞赛组委会秘书长姜启源教授在阐述竞赛思路时说，竞赛试题紧密结合社会热点问题
13、，富有挑战性，吸引着学生关心、投身国家的各项建设事业，培养他们理论联系实际的学风；竞赛让学生面对一个从未接触过的实际问题，运用数学方法和计算机技术加以分析、解决，他们必须开动脑筋、拓宽思路，充分发挥创造力和想象力，从而培养了学生的创新意识及主动学习、独立研究的能力。通过竞赛，许多取得优异成绩的学生的科研能力明显提高，毕业时受到用人单位欢迎，不少人被免试推荐读研究生。华东地区数模竞赛（已更名为大学生数学建模邀请赛）的发起单位复旦大学数学科学学院的康文华老师介绍说，数学建模的过程就是将现实中所面临的实际问题，用数学的语言来加以抽象和描述，然后利用数学工具对其进行解答的过程。因此，组织者在试题的选材
14、和加工上特别留意与现实生活和生产实际的紧密结合，注重试题的时效性、趣味性和实用性，许多题目直接来自向社会的征集。例如 2004 年数学建模邀请赛的一道试题是关于河流受污染后的扩散问题。在此届竞赛结束后不久，我国吉林省就发生了一起大规模的污染扩散事件，造成了松花江下游吉林市的居民饮水发生困难。2005 年的两道试题更加贴近生活，让参与者真切感受到数学无处不在。其中一题为流感疫苗的接种问题 ，它受到了之前发生在世界各地禽流感疫情的启发，提出了如何使用两种疫苗对易感人群进行有效接种的问题。另一道题目针对当时上海最热门的房地产市场，提出了如何给楼市合理定价的问题。他分析说，由于试题更加贴近生活，故而要
15、求学生深入社会开展一定的调查研究才能得到所需要的数据和信息。这不仅要求学生牢固掌握课堂上所学到的基本数学知识和建模技术，还需要他们了解问题的背景，对问题进行全面的分析，找出解决问题所要使用的数学方法和工具，走入社会进行一定的调查研究和数据采集，进行团队分工，最后使用相关计算机软件进行编程计算。不少学生在参加数模邀请赛后感慨良多。复旦大学数学学院 01 级一名一等奖获得者谈道：他们为了解决影院座位设计问题，多次前往电影院和大型报告厅实地观察，几乎走遍了周围所有能找到的类似电影院的地方，同时还查阅了不少参考书。华东师范大学一位获奖学生也感叹：为了解决楼市定价问题，他们 3 人分工协作，几乎跑遍了大
16、半个上海的房产中介公司。这样的经历使他们终生难忘。让复旦大学谭永基教授感慨的是，有些同学的解题方法出乎他的预料，让他欣喜地看到了蕴藏在同学中丰富的创造力和想象力。挑战自我、战胜自我的竞赛“一次参赛，终生受益”是许多参赛同学的共同感受。全国大学生数学建模竞赛是以通讯的形式进行，每 3 名大学生组成一队。在 3 天时间内可以自由地收集资料，调查研究，使用计算机、软件和互联网，但不得与队外任何人（包括指导教师在内）以任何方式讨论赛题。竞赛要求每个队完成一篇用数学建模方法解决实际问题的科技论文。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性以及文字表述的清晰程度为主要标准。江南大学信息工程学院的王艳等同学是以“出版社的资源配置”为题获得了本届最高奖高教社杯。王艳同学说，让我感悟颇深的是：数学建模是毅力的一种考证，是知识的一次爆发。赛前高强度的训练，赛时三天三夜的奋战，这确实是对自身意志力的一种挑战；数学建模增强了我们的自学能力和现学现用的能力。指导老师给与我们的只是一种方法、一个实例，我们要做的是如何通过自己的学习将这个点
