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1、第第 7 7 课时课时 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 一、复习要求 1.了解合情推理的含义，利用归纳与类比等进行简单的推理。 2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能进行简单的推理。 二、知识回顾 1、我们学过的合情推理包括 和 。 2、从 出发，推出某个 ，这种推理成为演 绎推理。是由 到 的推理。 3、三段论推理的一般模式(用符号表示)： （1）大前提： . （2）小前提： . （3）结论： . 4、尽可能少地选取 和不加证明的 （公理、公设） ，以此为出发点，应用 ，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法。三、典型例题例 1 从平面外一点向这个平面引两条斜线，它们
2、的夹角为，这两条斜线在平面内的射影夹角为，如果、(0，)，判断、的大小（ ） 。A. = B. C. D. 、大小不定 设 AB平面 BCD，BC、BD 是 AC、AD 在平面 BCD 内的射影，CBD=，CAD=。(见图 1)观察图 1，凭直觉似应选 B：；再观察图 2，我们视ABD 和ABE 是两个叠合在一起的直角三角形，可立得=EADEBD=0；如果我们把问题特殊化，设AB=BE=1，AD=2，BD= ，点 C 是点 E 以 AB 为轴旋转所至，那么，当点 C 刚刚离开点 E3一丁点时，凭直觉仍有；但把点 C 旋转至与点 B、E 共线位置时，则有=/3+/4=；再考虑到、从到的大小变化是
3、连续的，则直觉告诉我们应该在某一时刻恰好=。现证明如下：设 CD=x，在CAD 和CBD 中，依余弦定理得，COS= ADACxADAC 222224422x，COS= ，BDBCxBDBC 222232312x如果 = ，化简得 x =0，故方程在，24422x32312x2 322362813 上有解，所以，点 C 离开点 E 旋转到某一位置，可使 COS= COS，根据13 0， 得，=；综上所述，本题中、大小不定，应选 D。点评：本题的解决虽然没有离开逻辑思维，但对逻辑思维模式有所突破，充分体现了合情推理、直觉判断、大胆猜想、小心求证的数学方法，这其中推理者的思维过程，是内在的、有序的
4、、深刻的，且具有鲜明的个性化特征，绝非套用来自“题型教学”的所谓固定程式所至。经常进行此类问题的解题训练，强化合情推理的教育功能，对学生摆脱“题型教学”的羁绊是大有裨益的。例 2 观察以下各等式：2020003sin 30cos 60sin30 cos6042020003sin 20cos 50sin20 cos504，2020003sin 15cos 45sin15 cos454分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。猜想：。 22003sincos (30 )sincos(30 )4证明：000 22001 cos21 cos(602 )sin(302
5、)sin30sincos (30 )sincos(30 )2220 0cos(602 )cos2111sin(302 )222 00 02sin(302 )sin30111sin(302 )222 003113sin(302 )sin(302 )4224例 3 已知数列，其中是首项为 1，公差为 1 的等差数列；1230,a aa1210,a aa是公差为的等差数列；是公差为的等差数列101120,aaad202130,aaa2d（）.0d （1）若，求；2040ad（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；30ad30a（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，303140,aa
6、a3d把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例） ，并进行研究，你能得到什么样的结论？ 解：（1）. 102010.10 1040,3aadd（2）， 22 30201010 1(0)aadddd， 43 2110230da当时，. (, 0)(0,)d U307.5,a （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为 1，公差为 1 的 na 1210,a aa等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 1n 1010110 (1),nnnaaand研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围. 10 (1)nad10 (1)na研究的结论可以是：由，323
7、40301010 1aadddd依次类推可得 110(1)110,1,10 11 10(1),1.nn nddaddd nd 当时，的取值范围为等. 0d 10(1)na(10,)四、基础测试课后评测课后评测 7 7 一、选择题 1、 下列表述正确的是（ ）. 归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由 一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推 理. A； B； C； D. 2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若,则”类推出“若,则”33ab ab00ababB.“若”类推出“” ()ab cacbc()a b cac
8、bcC.“若” 类推出“ （c0） ”()ab cacbcabab cccD.“” 类推出“”nnnaba b（）nnnabab（）3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误b a bb 的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误4、当1，2，3，4，5，6 时，比较和的大小并猜想 （ ）.n 2n2nA.时， B. 时，1n 22nn3n 22nnC. 时， D. 时，4n 22nn5n 22nn二、填空题5、一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈
9、依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的的个数是 。6、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形 ABC 中的两边 AB、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两222ABACBC两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为: .7、从，,，,推111 4(12) 1 49123 1 49 16(1234) 广到第个等式为_.n8、已知 a1=3，an+1=，试通过计算 a2,a3,a4,a5的值，推测出 an_.33 nn aa9、对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等
10、或互补”, 在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: “ ”, 这个类比命题的真假性是 。10、平面内的 1 条直线把平面分成两部分，2 条直线把平面分成 4 部分，3 条相交直线但不 共点的直线把平面分成 7 部分， n 条彼此相交而无 3 条直线共点的直线把平面分成 部分。11、若数列an，(nN )是等差数列,则有数列 bn=(nN )也是等差数* naaan21*列，类比上述性质，相应地：若数列cn是等比数列,且 cn0(nN ),则有*dn=_ (nN )也是等比数列。 *参考答案参考答案课后评测课后评测 7 71、D 2、C 3、A 4、D 5、146、2222 ABDACDAB
11、CBCDSSSS7、2224321)321 () 1() 1(121nnnn 8、 9、如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补。n3（答案不唯一）假命题。 10、 11、222 nnnnccc21第第 8 8 课时课时 直接证明与间接证明直接证明与间接证明一、复习要求 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法，了解两种方法的思考过程与特点。 2.了解间接证明的一种基本方法：反证法，了解他的思考过程与特点。 二、知识回顾 1.证明分为 与 ，直接证明包括 、 等；间接证明主要是 . 2.综合法：（1）一般的，利用 等，经过一系列 ，最后 ，这种证明方法叫做综合法。
12、 （2）.综合法的模式;若用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明 的结论，则综合法可用框图表示为：1PQ12QQ23QQnQQ3.分析法：一般的，从 出发，逐步寻找使它成立的 ，直至最后，把要证明的 结论归结为 （已知条件、定义、定理、公理等） 。这种证明方法 叫做分析法。 4.反证法：一般的，假设 （即在原命题的条件下，结论不成立） ，经过 ，最后得出 ，因此说明 ，从而 ，这样的证明 方法叫做反证法。 5、数学归纳法证明的步骤： （1）归纳奠基： ； （2）归纳递推： . 三、典型例题例 1、设 a，b，x，yR，且，试证。221ab221xy1axby分析：可以用综合法与分析法-略例 2、若 a,b,c 均为实数，且，,求证：222axy223byz226czxa，b，c 中至少有一个大于 0。 分析：可以用反证法
