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1、1不动点方法求数列通项第一章：引言本文主要是讨论用不动点的方法来解决数列通项问题。当我们知道了数列的递推公式， 然后最关心的就是如何求出数列的通项公式。这个也是竞赛，高考中最常见的问题。本文 特别关注用分式函数， “耐克”函数，多项式函数作为非线性数列递推关系的数列通项。不 动点方法是大学动力系统的研究中的一种核心方法。本文就是通过结合不动点方法来解决 已知某项递推公式的通项公式。主要参考了多项式和有理函数的例外点集的处理方法，给 出了一种解决数列迭代通项的问题。同时指出，如果在竞赛和高考命题中，如果利用耐克函数迭代形式只有当时，才能写出通项。 xf xx 12第二章：主要结果定义：对函数，若
2、存在满足，那么称为函数的不动点。 yf x0x 00f xx0x下面介绍不同几类的数列的通项求法。1 ，1nnapaq0,1pp设，将看做。计算可得不动点 f xpxq1nnapaq 1nnaf a f xx，构造。将代入的表达式中可得是一个等比数01qxp1nnqbapnbna1nnbpb列。由此可得：，故1 1n nbpb1 111n nqqapapp2 ，且。若可以通过上下同除一个常数使得1n n naabacad0c 1ab cd0ab cd行列式为 1。 设，计算不动点可得方程，对于方程。 axbf xcxdaxbxcxd20cxda xb因此，对于不动点的结构而言，有三种不同情况。
3、情况一： 方程有两个不同的实数根，记作。那么构造，可得。12, 12n n naba 1nnbb这里或者，到底取哪个值与的构 2244adadadad 2244adadadad nb造方法有关。由此可得，所以，所以1 1n nbb1111212nnnaa aa2 1 11 1121 1211nnnaaaa情况二：方程有两个相同实数根，记作，此时。故那122ad c2ad11a c么构造。 可得。所以。11n nba1nnbbc11nbbnc，所以111111nncaa1111 11na nca 情况三：方程有两个共轭虚根。 当共轭虚根时，数列往往显示周期性。一般有如下规律。要么有，要么有。 这
4、个问题还有待研究。n Tnaan Tnaa3以下要给出一系列多项式和有理函数迭代的数列的公式。例 1 ，求的通项。12 2n n naaa10aana解：设，那么可得。构造，可得。 2 2xf xx2 2xxx2x 2 2n n naba2 1nnbb因此。所以，所以。12 1nnbb1222 22nnnaa aa 111222224 22nnnnaa aa 例 2，求的通项。32 133nnnnaaaa10a na解：作函数，求不动点可得， 3233f xxxx xf x32320xxx。显然构造不改变原来递推形式。尝试1230,1,2xxx 0nnba或者发现可以求出，因此 1 ,nnba
5、 2nnba 1nnba 3 1nnbb。故 ，即。 13 1nnbb1311nnaa 1311nnaa对于有理函数和多项式迭代什么时候可以用不动点方式写出通向公式。可以从以下定理中 得出结论。定义：设为有理函数，称序列Rdeg2R 0zC)为在点的轨道，记作。 01 0000,.,.n nzRzzR zzRzR0z 0ROz3定义的大轨道。0zC) 00|RRRGOzzC OzOz )I一个点称为例外点，如果它的大轨道是有限点集，记例外集为。aC) E R定理 1：至多由两个点组成。 E R定理 2:：若非空，当，则有理函数可以共轭形如。 E R ,E Ra bdzcz所以，前面的有理函数迭
6、代，其中不动点恰好是例外点。因12 2n n naaa122,2xx 为若函数则有，由此可知，只有在这个大轨道中。故可以通过 2,nfx 12nfx2设得到。 下面我们来说明，对于耐克函数迭代，可以通过移动不动2 2n n naba2 1nnbb点方法的情况这是唯一种。证明方法主要是通过计算例外点的方法来实现。设，设，所以，故。如果 xf xx 1xxx 2 2 1x 1x 为例外点，只能有方程的解只能为代入方程可得1 1x x1 ，。由此可知，必须也是或者。故可知11x 21x 2x1 1 ，故。当，故。 由此可知如果利用11 211 2 耐克函数构造数列迭代，只有才能化解成。故我们得到命题
7、。12 2n n naaa2 1nnbb命题： 对于，当且仅当时，的例外集为中有两 1xf xx2 f x E R个点。推论：对于，当且仅当时，才有满足。11n n naaa212n n naba 2 1nnbb4第三章：问题本文只是考虑了较为简单的耐克的函数类，分式函数类和多项式函数类的问题。对 于更复杂的函数类该如何处理依旧是一个问题。关键问题在于如何计算何种函数才有两个 例外点。第四章： 感谢 首先感谢组委会给我一个机会参与这个比赛，激发我的数学兴趣，更要感谢丘先生举 办如此一个比赛让我们充分发挥自主学习性。 同时也要感谢我的母校天山中学对我的教导。 以及感谢我的指导老师杨静桦博士的指导。谢谢他推荐我看一些大学的书籍，以至于我会 了解很多数列迭代的本质，对数学更加充满了兴趣。参考书目 1 任福尧等， 复动力解析系统， 1997 年第一版 2 历年高考考卷 3 历年希望杯竞赛试卷
