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1、一、填空一、填空1.1. 已知已知, , 则则 002. 0)(1x05. 0)(2x)23(21xx2.2. 近似数近似数关于真值关于真值有有 有效数字。有效数字。231. 0x229. 0x3.3. 若若 那么那么 。, 425)(2xxxf)(4xL4.4. 设设，那么它的关于，那么它的关于 6 6 个互异节点的个互异节点的 5 5 次拉格朗日插值多次拉格朗日插值多842)(3xxxf项式项式 。)(5xL5.5. 设设在在内存在，则内存在，则 )(,)(1xfbaCxf ),(ba)()()(11xLxfxR。6.6. 若若 那么那么 , , , 423)(4xxxf4 , 3 , 2
2、 , 1 , 0 f5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 f。7.7. 复化梯形公式复化梯形公式，那么复化辛普森公式，那么复化辛普森公式 nnTT,2nS8.8. 4 4 阶牛顿阶牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式至少有至少有 次代数次代数 bakkkxfCabdxxf40)4()()()(精度精度, , 5 5 点高斯点高斯- -勒让德求积公式具有次代数精度。勒让德求积公式具有次代数精度。9.9.牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式 当当 n n 为奇数时，它至为奇数时，它至 bankkn kxfCabdxxf0)()()()(少有少有 次代数精度，当次代数精度，当 n n 为偶数时它至少有
3、为偶数时它至少有 次代数精度。次代数精度。10.10. 若若，则其六阶差商，则其六阶差商 132)(356xxxxf3 ,3 ,3610Lf二、判断二、判断1.1. 根据区间根据区间aa，bb上给出的节点作插值多项式上给出的节点作插值多项式近似近似，的的)(xLn)(xf)(xLn次数越高逼近次数越高逼近的精度越好。的精度越好。 （ ）)(xf2.2. 若若那么那么3 3。 （ ）, 423)(4xxxf5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 f3.3. 若若，则其六阶差商，则其六阶差商。 （ 132)(356xxxxf23 ,3 ,3610Lf）4.4. 用牛顿用牛顿- -柯特斯公式计算
4、柯特斯公式计算的近似值时，节点取得越多，则误差越小。的近似值时，节点取得越多，则误差越小。dxxfba)(（ ）5.5. 在计算在计算时，时， 取取， 则用公式则用公式计算比用公计算比用公6) 12(f414. 12 3)223(1 式式计算得到的结果好。计算得到的结果好。 （ ）27099三、三、 （1）求一个次数不高于）求一个次数不高于 3 次的多项式次的多项式，使它满足条件：，使它满足条件：)(xP；并写出误差，其中；并写出误差，其中),2 , 1 , 0)()(ixfxPii)()(11xfxP（2 2）已知函数）已知函数的数据如下：的数据如下：)(xf0 1 2i1 2 3ix2 4
5、 12)(ixf试构造一个次数不超过试构造一个次数不超过 2 2 次的插值多项式次的插值多项式，使之满足条件：，使之满足条件：)(xP并写出误差并写出误差),2 , 1 , 0)()(ixfxPii（3 3）已知函数）已知函数的数据如下：的数据如下：)(xf0 0 1 1 2 2i1 1 2 2 3 3ix2 2 4 4 1212)(ixfix0 1 2)(ixf1 2 9)(ixf 33 3)(ixf 试构造一个次数不超过试构造一个次数不超过 3 3 次的插值多项式次的插值多项式，使之满足条件：，使之满足条件：)(xP。),2 , 1 , 0)()(ixfxPii)()(11xfxP四、四、
6、 （1 1）确定求积公式）确定求积公式中的待定参数，使其代数中的待定参数，使其代数101)()0()(xBfAfdxxf精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度，判断其是否稳定。精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度，判断其是否稳定。（2 2）确定求积公式）确定求积公式中的待定参中的待定参) 1 ()0() 1()(12201fAfAfAdxxf数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度，判断其是否数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度，判断其是否 稳定。稳定。（3 3）确定求积公式）确定求积公式中的待定参数，使其代中的待定参数，使其代111)() 1
7、()(xBfAfdxxf数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度，判断其是否稳定。数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度，判断其是否稳定。（4）确定求积公式）确定求积公式中的待定参数，使其代中的待定参数，使其代) 1 ()()0()(110CfxBfAfdxxf数精确度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精确度数精确度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精确度.五、五、 （1 1）已知）已知, , 为为x的近似值的近似值, , 求求%510x10x的相对误差限。的相对误差限。nxxf)(（2 2）将）将 3.141,3.141, 3.14,3.14, 3.1423.142 分别作为分
8、别作为的近似值的近似值, , 试确定它们各有几位有试确定它们各有几位有效数字效数字, , 并确定其相对误差限并确定其相对误差限. . ( () )L14159265. 3第四章习题答案第四章习题答案 1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的 求积公式所具有的代数精度。1）；)()0()()(101hfAfAhfAdxxfhh解分别取代入得到：2, 1)(xxxf，即，解得322 12 02 1101101320)(00)(21hdxxhAAhAxdxhAAhAhdxAAAhhhhhhhAAAAhAAA3121111101hAhAhA613261101又因为当时，；
9、3)(xxfhhdxxhhhAAhA3343 13 03 1061 610)(当时，；4)(xxfhhdxxhhhhhAAhA455554 14 04 152 31 61 610)(从而此求积公式最高具有 3 次代数精度。2）；)()0()()(10122hfAfAhfAdxxfhh解分别取代入得到：2, 1)(xxxf，即，32222 12 02 122101221013160)(00)(41hdxxhAAhAxdxhAAhAhdxAAAhhhhhhhAAAAhAAA31641111101解得，hAhAhA383438101又因为当时，；3)(xxfhhdxxhhhAAhA223343 13
10、 03 1038 380)(当时，4)(xxf；hhdxxhhhhhAAhA22455554 14 04 1564 316 38 380)(从而此求积公式最高具有 3 次代数精度。3）；3/)(3)(2) 1()(2111xfxffdxxf解分别取代入得到：2,)(xxxf，即， 323/ 32) 1(03/ )321(1122 22 121121dxxxxxdxxx1321322 22 121 xxxx解得与， 7221723221xx 7221723221xx又因为当时，3)(xxf； 11333303432114363432162426133432541082368213/ 722137
11、2322) 1(dxx， 11333303432114363432162426133432541082368213/ 7221372322) 1(dxx从而此求积公式最高具有 2 次代数精度。4）。)()0(2/)()0()(20hffahhffhdxxfh解分别取代入得到：，所以，2)(xxf322 31)2(2/ )0(hhahhh121a又因为当时，3)(xxf4223 41)3(1212/ )0(hhahhh当时，所以此求积公式最高4)(xxf55324 51 61)4(1212/ )0(hhhahhh具有 3 次代数精度。4、用辛普森公式求积分并估计误差。10dxex解。63233.
12、 0)36788. 042612. 21 (61)4(61)1 (2104)0(601)(24)(6121 0 eeefffbfbafafabS，从而。 efababRS161 18001)(2180)4(4 410472. 3161 1801SR5、推导下列三种矩形求积公式：；2)(2)()()(abfabafdxxfba；2)(2)()()(abfabbfdxxfba3)(24)()(2()(abfabbafdxxfba 解由微分中值定理有：，从而)()()(axfafxf22)(2)()()(2)()()()()(abfabafaxfxafdxaxfafdxxfb ababa再由微分中值定理有：，从而)()()(bxfbfxf。22)(2)()()(2)()()()()(abfabbfbxfxbfdxbxfbfdxxfb ababa由微分中值定理有：，2)2(2)()2)(2()2()(baxfbaxbafbafxf 从而33322)(24)()(2(4)( 6)()(2()2(6)()2)(2(21)2()2(2)()2)(2()2()(abfabbafabfabbafbaxfbaxbafxbafdxbaxfbaxbafbafdxxfb ababa 7、用复化梯形
