三角函数性质讲义

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1、三角函数的性质讲义三角函数的性质讲义一、 【知识要点知识要点】 1、 图象和性质图表解函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义 域RR Zkkxx,2值域11，最大值为 1，最小值为- 111，最大值为 1，最小值 为-1R无最大值，最小值周期 性最小正周期为2最小正周期为2最小正周期为奇偶 性奇函数偶函数奇函数单调 性在上22,22kk都是增函数；在223,22kk上都是减函数（kZ）在（）12 kk2 ,)上都是增函数；在都是) 12( ,2kk减函数)(Zk 在（)2,2(kk上都是增函数)Zk 对称 性既是轴对称又是中心对 称图形对称轴2 kx对称中心坐标，)0 ,(k以上的Zk 既是轴对

2、称又是中心对 称图形对称轴kx 对称中心坐标为，以上的)0 ,2(kZk 是中心对称图形对称中心坐标,)0 ,2(k(kZ)二、二、 【知识应用知识应用】 （一）（一） 、求定义域、求定义域例例 1求函数的定义域。 1sin2cos1)2cos2lg(xxxy解解:(1) 解不等式组 21sin1cos22cos01sin2cos12cos2xxxxxx或 函数定义域是. Zkkxkkxx,432622|或（二）（二） 利用三角函数的性质比较大小利用三角函数的性质比较大小例 1、(2008 天津文)设、，则（ ）75sina72cosb72tancAabcBacbCbcaDbac解：由，因为，

3、所以，75sina272 472tan172sin72cos0故选 D点评：点评：掌握正弦函数与余弦函数在0， ， ，的大小的比较，画出它们的图象，从图象上4 4 2能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：0,1 ，也要掌握。 （三）（三） 复合型三角函数图像的识别复合型三角函数图像的识别例 2、(2008 山东文、理)函数 其中的图象是（ ）xycosln22xyx 2 2Oyx 2 2Oyx 2 2Oyx 2 2OABCD解： （）是偶函数，可排除 B、D，由的值域可以确定.因此本题xycosln22xxycos应选 A.（四）（四） 、求值域、最值、求值域、最值 1 1、利用三角函数的有

4、界性求值域、利用三角函数的有界性求值域1、形如 y=asinx+bcosx+c 型引入辅助角公式化为sin(x+)+c 再求值域.22ba 例 1、求函数 f(x)=2sinx+cos(x+)的值域3解：f(x)=2sinx+cosxsinx=（2）sinx+cosx21 23 23 21=，故 f(x)sin()21()232(22x52 352 3，2、形如 y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x 型通过降幂转化为 Asinx+Bcosx 再求值域.例 2、f(x)=2asinxcosx-2asin2x+1（a0）的值域3解：f(x)= asin2x+acos2x-a+1=2a

5、sin(2x+)-a+136a0，sin(2x+)-a+1 f(x)-3a，a+162 2、用换元法化为二次函数求值域、用换元法化为二次函数求值域 1、形如 y=sin2x+bsinx+c 型令 sinx=t 转化为二次函数再求值域. 例 3、k1，故当 t=1 时，4k 4kymin=1，当 t=1 时，ymax=12k，即 y1,1-2k 2、形如 y=asinxcosx+b（sinxcosx）+c，换元令 sinxcosx=t转化为二次函数在上的值域问题2,2例 4、求函数 y=sinxcosx+sinx+cosx 的值域解：令 sinx+cosx=t，t，则 sinxcosx=，y=+

6、t=(t+1)2-12,2212t 212t 21当 t=1 时，ymin=1，当 t=时，ymax=+，即 y-1，+22212213 3、考察结构特征，用分离常数法求值域、考察结构特征，用分离常数法求值域形如 y=型，可用分离常数法转化为 y=a+再求值域.dxcbxa coscos xb例 5、求函数 y=的值域.1cos21cos2 xx解：y= -1cosx1 且 cosx，1cos2211cos221cos2 xxx 21-或2，故 y1cos22 x32 1cos22 x), 331,(4 4、反函数思想求值域、反函数思想求值域形如 y=可用反函数思想转化为 f(y)sin(x+

7、)=g(y)求值域.dxcbxa sincos例 6、求 y=的值域.3sin22cos3 xx解：由 y=得 2ysinx-3y=3cosx-23sin22cos3 xx2ysinx-3cosx=3y-2，sin(x+)=3y-2sin (x+)=，942y 94232yy由|sin(x+)| 1 得|1,即 y 94232yy5616,56165 5、化为一元二次方程用判别式求值域、化为一元二次方程用判别式求值域形如 y=也可用判别式求值域dxcbxa sincos例 7、求函数 y=的值域xx cos2sin 解：=，设 t=tanxx cos2sin 2sin2cos32cos2sin

8、222xxxx2tan32tan22xx2x则 y=yt2-2t+3y=0，当 y=0 时，t=0 适合，当 y0 时，由=4-12y20232 tt ，故 y.33 33y33,336 6、根据代数函数的单调性求值域、根据代数函数的单调性求值域形如 y=asint+，令 sint=x，根据函数 y=ax+的单调性求值域.tb sinxb例 8、(0,)，则函数 y=sin+的值域为_.sin2分析：设 x=sin，则 x，即 y=x+, x,由图象得，当 x=1 时，ymin=3，故 y 1 , 0(x2 1 , 0(3 , 0(例例 2求函数的值域.2sin1sin2 xxy法一:， 又

9、1sinx1， -3sinx21, 2sin522sin1sin2 xxxy 函数的值域为.31, 3,31 2sin11yx31,3法二:由解得， 1sinx1, 解得，2sin1sin2 xxy212sinyyx12121yy 313y 函数的值域为。31,32， (全国高考试题)当时，函数的 ( ) 22xxxxfcos3sin)(A、最大值是 l，最小值是1 B、最大值是 l，最小值是2C、最大值是 2，最小值是2 D、最大值是 2，最小值是1 解：。 ， 1f(x)3sin(2cos3sin)(xxxxf65 3622xx2，应选 D。 3，(上海高考试题)函数 f(x)3sinxc

10、osx4cos2x 的最大值为_。 解： 2)2sin(44922cos22sin23)2cos1 (22sin23)(xxxxxxf. 评注：本题注重考查形如 f(x)asinx+bcosx 的最值： . （五）求三角函数的周期（五）求三角函数的周期例例 3，已知函数， （1）求该函数的最小正周期；xxxxy22cos3cossin2sin （2）求函数的最小值及相应的 x 的集合。变式训练 1， (上海高考试题)函数 y2sinxcosx2sin2x+l 的最小正周期是_。 解：.,)42sin(22cos2sinTxxxy2，下列函数是否是周期函数？并求其最小正周期.sin)5(;cos

11、)4(;sin)3()42cos()432sin()2(;sincos),1 (44xyxyxyxxyxxy（六）六） 、考查函数的单调性、考查函数的单调性 例例 4 (上海高考试题)函数的单调减区间是_。 )0,()62sin(2xxy解：令。 则 y2sinu 的单调减区间为，即62xu)(22322Zkkuk，又因为，令)(,23 3)(223 6222ZkkxkZkkxk0,xk1，得所求单调减区间是。 3,65变式训练1，求函数的单调递减区间。)23sin(xy（七）三角函数的奇偶性（七）三角函数的奇偶性例例 5，判断函数的奇偶性。xxxfxxxfsin1coslg)()2();co

12、s()22cos()() 1 (（八）八） 、函数的对称性、函数的对称性 例例 6(全国高考试题)关于函数，有下列命题： Rxxxf,)32sin(4)(1)yf(x)的表达式可改写为； )62cos(4xy(2)yf(x)是以为最小正周期的周期函数； 2(3)yf(x)的图象关于点对称； )0,6(4)yf(x)的图象关于直线对称 6x其中正确的命题的序号是_ (注：把你认为正确的命题的序号都填上) 解： 由上式知(1)正确，知(2)错)62cos(4)322cos(4)32sin(4)(xxxxfT误 ， xxxxf2cos4)22sin(43)6(2sin4)6(f(x)的图象关于直线对

13、称，但 f(x)图象不关于点对称，故(3)错误，(4)正确，所以6x)0,6(填(1)、(4) 例例 7 (全国高考试题)如果函数 ysin2x+acos2x 的图象关于直线对称，那么 a( )。 8xA. B. C.1 D.-1 解：函数 ysin2x+acos2x 的图象关于直线对称，表明当时，函数取得最大值8x8x，或取得最小值，所以， 即12a12a1)4cos()4sin(22aa， 故应选 D 11) 1(21222aaa（九）九） 、考查函数的图象变换、考查函数的图象变换 例例 8 (全国高考试题)已知函数 。 (1)当 y 取得最大值时，求自变量 x 取值的集合； (2)该函数

14、的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解：(1) y 取最大值当且仅当，kZ, 即 kZ, 所以，当函数 y 取得最大值时，自变量 x 的集合为. Zkkxx,23|(2)变换的步骤：把函数 ysinx 的图象向左平移，得到函数的图象，令所得到的图象6)6sin(xy上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数的图象，经过这样的变换就)6sin(2xy得到函数的图象 （十）十） 、考查函数的解析式、考查函数的解析式 例例 10 (全国高考试题)如图 1，某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数。 (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式 解：(1)由图 1，这段时间的最大温差是 30-1020() (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数的半个周期的图象，