简析数列通项公式的几种常用求解方法

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1、简析数列通项公式的几种常用求解方法简析数列通项公式的几种常用求解方法摘要:求数列的通项公式是高中数学教学的重点,是学生学习的难点,也是高考考查的热点。 关键词:数列;求解;方法 求数列的通项公式是高中数学教学的重点,是学生学习的难点,也是高考考查的热点。 关于数列通项公式的题目多种多样,但是万变不离其宗,求解数列通项公式的常见题型有以下 九种: 一一观察法观察法例例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，（2）K,17164,1093,542,211（3）K,52,21,32, 1（4）K,54,43,32,21解：（1）变形为：1011，1021

2、，1031，1041，通项公式为：110 n na（2） （3） （4）.;122nnnan;12 nan1) 1(1 nnan n观察各项的特点，关键是找出各项与项数 n 的关系。 二、二、定义法定义法例例 2： 已知数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q 的(qR 且 q1)的等 比数列，若函数 f (x) = (x1)2，且 a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)， (1)求数列 a n 和 b n 的通项公式； 解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，a3a1=d2

3、(d2)2=2d， d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又 b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2，=q2，由 qR，且 q1，得 q=2，2213)2( qq bbbn=bqn1=4(2)n1 当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首 项及公差公比。三、 叠加法叠加法 例例 3：已知数列 6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解 易知, 121naann , 312aa, 523aa, 734aa , 121naann各式相加得) 12(7531naanL)(52Nnnan一般地，对于型如类的通项公式，只要能)

4、(1nfaann)()2() 1 (nfffL进行求和，则宜采用此方法求解。四、四、叠乘法叠乘法例例 4：在数列中，=1, (n+1)=n，求的表达式。na1a1nanana解：由(n+1)=n得，1nana11 nn aann= 所以1aan12 aa23 aa34 aa1nn aa nnn11 43 32 21Lnan1一般地，对于型如=(n)类的通项公式，当的值可以求1nafna)()2() 1 (nfffL得时，宜采用此方法。五、五、公式法公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式nnSna nana求解。 211nSSnSannn nLLLLL例例 5：已知下列两数列的前

5、 n 项和sn的公式，求的通项公式。nana（1）。 （2）13nnSn12 nsn解： （1）11111 Sa=3na1nnSS1) 1() 1() 1(33nnnn232 nn此时，。=3为所求数列的通项公式。112Sana232 nn（2），当时011 sa2n12 1) 1() 1(22 1nnnssannn由于不适合于此等式 。 1a )2(12) 1(0 nnnan注意要先分 n=1 和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。2n例例 6. 设数列的首项为 a1=1，前 n 项和 Sn满足关系 na ), 4 , 3 , 2, 0(3)32(31LnttSttSnn 求证：数列是等

6、比数列。 na解析：因为) 1 (), 4 , 3 , 2, 0(3)32(31LLLnttSttSnn所以)2(), 4 , 3 , 2, 0(3)32(321LLLnttSttSnn得：)2() 1 (所以，数列是等比数列。 na六、六、阶差法阶差法例例 7.已知数列的前项和与的关系是 nannSna，其中 b 是与 n 无关的常数，且。nnnbbaS)1 (111b求出用 n 和 b 表示的 an的关系式。解析：首先由公式：得： 211nSSnSannn nLLLLL)2()1 (1)1 (1121nbbabbabbannn1222 1) 1()1(1nnnbbabbabbLLLL133

7、3 22 ) 1()1()1(nnnbbabbabb1111 22 ) 1()1()1( nn nn bbabbabb), 2(3320)32(3), 4 , 3 , 2, 0(0)(32()311211Nnntt aaattantSStSStnn nnnnnnL（1121113211) 1() 1() 1(1 nnnnnnnnbbbb bbbbbbbabbaLL12)1 (nnnbbbbaL 1)1)(1 (12111bbbbbbnnnnLLLLL利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即 其和为。n七、七、待定系数法待定系数法例例 8：设数列的各项是一个等差数列与一个

8、等比数列对应项的和，若ncc1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式 cn解：设1) 1(n nbqdnac132211121237242 n nncabdqbqdabqdabqdaba点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、为常数） ，若数列nacbnancnbnsn2为等比数列，则，。na1n nAqa) 1, 0(qAqAAqsn n八、八、辅助数列法辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为 等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例例 9.在数列中，求。

9、na11a22annnaaa31 3212na解析解析：在两边减去，得nnnaaa31 32121na)(31112nnnnaaaa 是以为首项，以为公比的等比数列，nnaa1112 aa31，由累加法得1 1)31( n nnaa=na112211)()()(aaaaaaannnn =2)31(n3)31(n11)31(311)31(11n1)31(1 431n= 1)31(43 47n例例 10.（2003 年全国高考题）设为常数，且（） ，0a1123nn naa*Nn证明：对任意 n1，02) 1(2) 1(351aannnn n证明证明：设，)3(231 1 n nn ntata用代

10、入可得1123nn naa51t 是公比为，首项为的等比数列，53nna 2531a （） ，1 0)2()5321 (53nnnaa*Nn即：01 2) 1(52) 1(3aannnnnn型如 an+1=pan+f(n) (p 为常数且 p0, p1)可用转化为等比数列等. (1)f(n)= q (q 为常数)，可转化为 an+1+k=p(an+k)，得 an+k 是以 a1+k 为首项，p 为公比的 等比数列。例例 11：已知数的递推关系为，且求通项。na121nnaa11ana解： 121nnaa) 1(211nnaa令1nnab则辅助数列是公比为 2 的等比数列nb即 1 1n nqb

11、bnn nqaa2) 1(11 112 n na例例 12： 已知数列中且（），求数列的通项公式。na11a11 nn naaaNn解：11 nn naaa ， 设，则11111nnnnaaa annab111nnbb故是以为首项，1 为公差的等差数列nb1111ab nnbn) 1(1nbann11例例 13.（07 全国卷全国卷理理 21）设数列的首项na1 13(01)2 3 42n naaan，（1）求的通项公式；na解：（1）由132 3 42n naan， ，整理得111(1)2nnaa 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得110a1na11 a1 21111 (1)2nnaa

12、注：一般地，对递推关系式 an+1=pan+q (p、q 为常数且，p0，p1)可等价地改写成则成等比数列，实际上，这里的是特征方)1(11pqappqannpqan1pq 1程 x=px+q 的根。(2) f(n)为等比数列，如 f(n)= qn (q 为常数) ，两边同除以 qn，得，令 bn=111 nn nn qapqaq，可转化为 bn+1=pbn+q 的形式。nn qa例例 14.已知数列an中，a1=， an+1=an+（）n+1，求 an的通项公式。65 31 21解：an+1=an+（）n+1 乘以 2n+1 得 2n+1an+1=(2nan)+1 令 bn=2nan 则 b

13、n+1=bn+131 21 32 32易得 bn= 即 2nan=3)32(341n3)32(341n an=nn23 32(3) f(n)为等差数列 例例 15.已知已知数列an中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求 an的通项公式。解： an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得 an+2-an=2 因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), an=。 是偶数是奇数 nnnn , 2,注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。 (4) f(n)为非等差数列，非等比数列例例 16.（07 天津卷理）天津卷理）在数列中，其中 na1 112(2)2 ()nn nnaaan N，0（）求数列的通项公式； na解：由，1 1(2)2 ()nn nnaan N0可得，1 1 1221nn nn nnaa 所以为等差数列，其公差为 1，首项为 0，故，所以数列2n n na 21n nnan的通项公式为 na(1)2nn nan这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。九、九、归纳、猜想归纳、猜想 如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜 想出数列的通项公式，然后再用数学归