《能动学院数理方程标准答案(a)卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《能动学院数理方程标准答案(a)卷（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：课程名称： 数理方程（数理方程（ ） 课时：课时：3232 考试时间：考试时间：20092009 年年 月月 日日一、（共 20 分, 每小题 4 分）1., ; 2. ; 22 222uub uatxt0xL2 2 20,0,0|0,|0( ,0)( )xx LuuaxL ttx uux u xx3. , 椭圆型; 4.,; 5. . 220( 1) 2! (1) 2nkkkxx k T kn1()n nx Jx10,11二. (15 分) 作自变量代换, , 则原方程化简为. 对该方2
2、xt2xt0u程两端积分两次得. 故.代入初始( , )( )( )ufg ( , )(2 )(2 )u x tf xtg xt条件得 解得 2( )( )1( )( )sin .2f xg xxfxg xx2211( )cos24 11( )cos.24f xxxcg xxxc 所以 .221( , )4cos cos(2 )2u x txtxt三(16 分) (1) 特征方程为，特征根。02rr当时，有非零解， ，不同时为零。0)sin()cos()(xBxAxXAB代入边界条件得，(). 故本征解为, 0ALnK, 2, 1n2()nn L, . ( )sinnnXxxLK, 2, 1n
3、(2)设，分离变量得与 ( , )( ) ( )0u x tX x T t0,0 (0)( )0XXxL XX L . 由(1)知，本征值问题的解为, , 2( )( )0T ta T t2()nn L( )sinnnXxxL。解得，相应特解为K, 2, 1n2( )( )0nT ta T t2( )exp( () )nnn aT tCtL。应用迭加原理2( , )exp( () )sinnnn anu x tCtxLL.2( , )exp( () )sinnn anu x tCtxLL由初始条件得, 从而.1sin( )n nnCxxL 02()sinLnn xCx LxdxLL四(15 分
4、) 首先把非齐次边界条件齐次化. 设,其中辅助( , )( , )( , )u x tV x tw x t函数, 则满足的定解问题为( , )BAw x tAxL( , )V x t2000( , ),0,0 |0,|0|,|0.ttxxxx LtttVa Vf x txL t VV ABVxA VL由第三题知，该定解问题所对应的本征值问题的解为, 2()nn L， 。然后根据本征函数法，设，( )sinnnXxxLK, 2, 1n1( , )( )sinn nnu x tT txL，其中1( , )( )sinn nnf x tf txL1sinn nABnxAwxLL. 代入方程和初始条件
5、得0222()sin( 1)l n nABnBAwxAxdxLLLnn 应用常数变易法解得2( )( )( ) 22(0)( 1),(0)0.nnnnn nnT ta T tf t BATTnn022( )( 1)cos( )sin().t n nnBAn aln aT ttftdnnln al故1022( , )( 1)cos( )sin()sin.t n n nBAn aln an xu x ttftdnnln all五(15 分) 设, 则由方程和边界条件得( , )( )( )0u rR r.20,|(0)| 0,(0)(2 )r RrRRR 解本征值问题得, ，。相应地解另2 nn(
6、 )sincosnnnxAnBn0,1, 2,n K一常微分方程得，。利用迭加原理, 2( )n nnR rD r0,1, 2,n K。代入的边界条件得2 0 1( , )sincosn nn nu rDCnDnr1r 。比较系数得， 2 0 11sincossin( )sin24cos32n nn nDCnDnr11C ，其他系数均为 0。故 .21 2C 34D 231( , )sin( )sin24cos32u rrrr注：该题也可基于齐次化原理利用分离变量法来做。六(10 分) 设，则(2) 2 1( )()mm mf xA Jx( 2)133(2) 2(2)420 0(2)2(2)2
7、 222( )2()()()mm m mmmt J t dtx Jx dx A JJ(2) 3 (2)(2)(2)(2)2 222()2,1.()()kkkkkJkJJ (2) 2 (2)(2) 122()( ).()kkkkJxf xJ 七(二选一) (9 分)1. 设， 则比较系数及利用奇偶性可知，且(30( )3( )nn nf xxxc P x20nc210nc), 从而 。又已知，利用递2n 3 1133( )3( )( )f xxxc P xc P x0( )1P x 1( )P xx推关系得， 11(1)( )(21)( )( )0nnnnPxnP xnPx2 21( )(31)2P xx。故，比较系数得，3 21( )(53 )2P xxx33 1313(53 )2xxc xcxx36/5c 。123/5c 2 证明见教材 P145-P146.第 1 页第 2 页
