刚体定轴转动

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1、0第第 2 章章 刚体定轴转动刚体定轴转动2.28 质量为 M 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为 R1和 R2，求 对通过其中心轴的转动惯量解：设圆柱体的高为 H，其体积为 V = (R22 R12)h，体密度为 = M/V在圆柱体中取一面积为 S = 2RH，厚度为 dr 的薄圆壳，体积元为 dV = Sdr = 2rHdr，其质量为 dm = dV， 绕中心轴的转动惯量为 dI = r2dm = 2Hr3dr，总转动惯量为21344 2112d()2RRIHrrH RR22 211()2m RR2.29 一矩形均匀薄板，边长为 a 和 b，质量为 M，中心 O 取为原点，坐标系 O

2、XYZ 如图所 示试证明：（1）薄板对 OX 轴的转动惯量为；21 12OXIMb（2）薄板对 OZ 轴的转动惯量为221()12OZIM ab证： 薄板的面积为 S = ab，质量面密度为 = M/S （1）在板上取一长为 a，宽为 dy 的矩形元，其面积为 dS = ady， 其质量为 dm =dS， 绕 X 轴的转动惯量为 dIOX = y2dm = ay2dy， 积分得薄板对 OX 轴的转动惯量为/2/2 23/2/21d3bbOX bbIayyay3211 1212abMb同理可得薄板对 OY 轴的转动惯量为21 12OYIMa（2）方法一：平行轴定理在板上取一长为 b，宽为 dx

3、的矩形元， 其面积为 dS = bdx，质量为 dm = dS， 绕过质心的 OZ轴的转动惯量等于绕 OX 轴的转动惯量 dIOZ = b2dm/12 根据平行轴定理，矩形元对 OZ 轴的转动惯量为 dIOZ = x2dm + dIOZ = bx2dx + b2dm/12， 积分得薄板对 OZ 轴的转动惯量为/2 22/201dd12aMOZ aIbxxbm/2 32/211 312aabxb M221()12M ab方法二：垂直轴定理在板上取一质量元 dm，绕 OZ 轴的转动惯量为 dIOZ = r2dm 由于 r2 = x2 + y2，所以 dIOZ = (x2 + y2)dm = dIO

4、Y + dIOX，因此板绕 OZ 轴的转动惯量为221()12OZOYOXIIIM ab2.30 一半圆形细杆，半径为 R，质量为 M，求对过细杆二端 AA轴 的转动惯量R1R2OOH图 2.28aObXYZ图 2.29aObXYZZOy xr AAR图 2.301解：半圆的长度为 C = R，质量的线密度为 = M/C在半圆上取一弧元 ds = Rd，其质 量为 dm = ds，到 AA轴的距离为 r = Rsin， 绕此轴的转动惯量为 dI = r2dm = R3sin2d，半圆绕 AA轴的转动惯量为320sindIR 301(1 cos2 )d2R 321 22RMR2.31 如图所示，

5、在质量为 M，半径为 R 的匀质圆盘上挖出半径为 r 的两 个圆孔圆孔中心在圆盘半径的中点求剩余部分对大圆盘中心且与盘面 垂直的轴线的转动惯量解：大圆的面积为 S = R2，质量的面密度为 = M/S大圆绕过圆心且与 盘面垂直的轴线的转动惯量为 IM = MR2/2小圆的面积为 s = r2，质量为 m = s，绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为 IC = mr2/2， 根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为 Im = IC + m(R/2)2，2221()(2)24mCRIImmrR2221(2)4rrR2 22 21(2)4rMrRR剩余部分的转动惯量为4 22 2122()2MmrII

6、IM RrR2.32 飞轮质量 m = 60kg，半径 R = 0.25m，绕水平中心轴 O 转动，转 速为 900rmin-1现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力，可使飞轮减速闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之Fr间的摩擦因数 = 0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算 （1）设 F = 100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞 轮转了多少转？ （2）若要在 2s 内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力 F？解：设飞轮对闸瓦的支持力为 N，以左端为转动轴，在力矩平衡时有 0.5N 1.25F = 0， 所以 N=2.5F = 250(N) 闸瓦对飞轮的压力为 N =

7、 N= 250(N)， 与飞轮之间摩擦力为 f = N = 100(N)， 摩擦力产生的力矩为 M = fR 飞轮的转动惯量为 I = mR2/2， 角加速度大小为 = -M/I = -2f/mR = -40/3(rads-2)， 负号表示其方向与角速度的方向相反 飞轮的初角速度为 0 = 30(rads-1) 根据公式 = 0 + t，当 = 0 时，t = -0/ = 7.07(s) 再根据公式 2 = 02 + 2，可得飞轮转过的角度为 = -02/2 = 333(rad)， 转过的圈数为 n = /2 = 53r 注意圈数等于角度的弧度数除以 2 （2）当 t = 2s， = 0/2

8、时，角加速度为 = -0/2t = -7.5 力矩为 M = -I， 摩擦力为 f = M/R = -mR/2 = (7.5)2 闸瓦对飞轮的压力为 N = f/， 需要的制动力为 F = N/2.5 = (7.5)2 = 176.7(N)OrR r图 2.31O0.50F0.75图 2.3222.33 一轻绳绕于 r = 0.2m 的飞轮边缘，以恒力 F = 98N 拉绳，如图 （a）所示已知飞轮的转动惯量 I = 0.5kgm2，轴承无摩擦求 （1）飞轮的角加速度 （2）绳子拉下 5m 时，飞轮的角速度和动能 （3）将重力 P = 98N 的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的 结果解

9、：（1）恒力的力矩为 M = Fr = 19.6(Nm)， 对飞轮产生角加速度为 = M/I = 39.2(rads-2) （2）方法一：用运动学公式飞轮转过的角度为 = s/r = 25(rad)，由于飞轮开始静止，根据公式 2 = 2，可得角速度为 = 44.27(rads-1)；2飞轮的转动动能为 Ek = I2/2 = 490(J) 方法二：用动力学定理拉力的功为 W = Fs = 490(J)， 根据动能定理，这就是飞轮的转动动能 Ek根据公式 Ek = I2/2，得角速度为= 44.27(rads-1)2/kEI(3)物体的质量为 m = P/g = 10(kg) 设绳子的张力为

10、T，则 P T = ma，Tr = I 由于 a = r，可得 Pr = mr2 + I，解得角加速度为= 21.8(rads-2)2Pr mrI绳子的张力为= 54.4(N)2IIPTrmrI 张力所做的功为 W = Ts = 272.2(J)，这就是飞轮此时的转动动能 Ek飞轮的角速度为= 33(rads-1)2/kEI2.34 质量为 m，半径为 R 的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动， 如图所示盘与水平面的摩擦因数为 ，圆盘从初角速度为 0到停 止转动，共转了多少圈？解：圆盘对水平面的压力为 N = mg， 压在水平面上的面积为 S = R2， 压强为 p = N/S = mg/R2 当

11、圆盘滑动时，在盘上取一半径为 r、对应角为 d 面积元，其面积为 dS = rddr， 对水平面的压力为 dN = pdS = prdrd， 所受的摩擦力为 df = dN = prdrd， 其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为 dM = rdf = pr2drd，总力矩为2200d dRMprr 3123pR2 3mgR圆盘的转动惯量为 I = mR2/2，角加速度大小为，负号表示其方向与角速度的方向相反4 3Mg IR 根据转动公式 2 = 02 + 2，当圆盘停止下来时 = 0，所以圆盘转过的角度为F=98NP=98Nm(a)(b)(图 2.33)R0O图 2.343，转过的圈数为 22

12、 003 28R g 2 03 216Rng 注意在圆盘上取一个细圆环，其面积为 ds = 2rdr，这样计算力矩等更简单。 2.35 一个轻质弹簧的倔强系数为 k = 2.0Nm-1它的一端固定， 另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为 m1 = 80g 的物体相 连，如力产所示定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为 r = 0.05m，质量为 m = 100g先用手托住物体 m1，使弹簧处于其自 然长度，然后松手求物体 m1下降 h = 0.5m 时的速度多大？忽 略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑解：根据机械能守恒定律可列方程，222 11111 222m ghmvIkh其中 I =

13、 mr2/2， = v/r，可得 2m1gh kh2 = m1v2 + mv2/2，解得= 1.48(ms-1)2 112 /2m ghkhvmm2.36 均质圆轮 A 的质量为 M1，半径为 R1，以角速度 绕 OA 杆的 A 端转动，此时，将其 放置在另一质量为 M2的均质圆轮 B 上，B 轮的半径为 R2B 轮原来静止，但可绕其几何 中心轴自由转动放置后，A 轮的重量由 B 轮支持略去轴承的摩擦与杆 OA 的重量，并 设两轮间的摩擦因素为 ，问自 A 轮放在 B 轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多 长时间？解：圆轮 A 对 B 的压力为 N = M1g， 两轮之间的摩擦力大小为 f

14、 = N = M1g， 摩擦力对 A 的力矩大小为 MA = fR1 = M1gR1， 摩擦力对 B 的力矩大小为 MB = fR2 = M1gR2， 设 A 和 B 的角加速度大小分别为 A和 B，转动惯量分别为 IA和 IB， 根据转动定理得方程 MA = IAA，即 A = MA/IA 同理可得 B = MB/IB 当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度 v，A 的角速度为 A = v/R1， B 的角速度为 B = v/R2 根据转动运动学的公式得 A = -At，B = Bt， 即 v/R1 = -At，v/R2 = Bt，化得 v - R1 = -AR1t，v = BR2t，

15、 将后式减前式得 R1 = (R1A + R2B)t， 解得 112ABRtRR 112/AABBR R MIR MI111121222 112211 22R RM gRRM gRM RM R 11222/R ggMM 经过的时间为21122()M Rtg MM 注意在此题中，由于 A、B 两轮不是绕着同一轴转动的，所以不能用角动量守恒定律OA R1R2Bm1m1mhr图 2.3542.37 均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为 0，转动时受到空 气的阻力阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积 及速度的平方的乘积成正比，比例常数为 k试计算经过多少时间， 薄板角速度减为原来的一半设薄板竖直边长为 b，宽为 a，薄板质 量为 m 解：在板上距离转轴为 r 处取一长度为 b，宽度为 dr 的面积元，其 面积为 dS = bdr当板的