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1、普通高中课程标准实验教科书数学普通高中课程标准实验教科书数学普通高中课程标准实验教科书-数学 人教版高三新数学第一轮复习教案（讲座 36）-空间向量及其应用一课标要求：（1）空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量； 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂
2、线定理） ； 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二命题走向本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测 07 年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。三要点精讲1空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位
3、移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2向量运算和运算率加法交换率：加法结合率：数乘分配率：说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。3平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。注
4、意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量（） 、 ，的充要条件是存在实数使注：上述定理包含两个方面：性质定理：若（0） ，则有，其中是唯一确定的实数。判断定理：若存在唯一实数，使（0） ，则有（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上） 。对于确定的和，表示空间与平行或共线，长度为 |，当0时与同向，当的大小(其中 0。解析：（1）答案：13；解析：（2）=22=2|2|cos120=2425（）=13。（2）解：(1)|=|=1，x+y=1，x=y=1.又与的夹角为，
5、=|cos=.又=x1+y1，x1+y1=。另外 x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=()21=.x1y1=。(2)cos=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.x1，y1是方程 x2x+=0 的解.或同理可得或，或cos=+=+=.0，=。评述：本题考查向量数量积的运算法则。题型 5：空间向量的应用例 9 （1）已知 a、b、c 为正数，且 a+b+c=1，求证：+4。（2）已知 F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3 共同作用于同一物体上，使物体从点 M1（1，-2，1）移到点 M2(3，1，2)，求物
6、体合力做的功。解析：（1）设=(， ，)，=(1，1，1)，则|=4，|=.|，=+|=4.当=时，即 a=b=c=时，取“=“号。（2）解：W=Fs=(F1+F2+F3)=14。点评：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，则由|，得(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查|的应用，解题时要先根据题设条件构造向量， ，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。例 10如图,直三棱柱中,求证: 证明：同理又设为中点,则又点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积
7、以及平行,相等和垂直的条件。五思维总结本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点 O 和一个单位正交基底i，j，k建立坐标系，对于 O 点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积ab=|a|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记。对本讲内容的考查主要分以下三类：1以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。2向量在空间中的应用在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。?第 1 页 共 10 页
