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1、第六章第六章 抽样分布抽样分布 总体、样本和统计量总体、样本和统计量 经验分布函数和频率直方图经验分布函数和频率直方图 抽样分布抽样分布 从本章开始，我们将学习数理统计部分，前面五章的 内容属于概率论范畴。数理统计实际上是概率论的具体应 用。它的研究范围分成两个方面，一个是统计推断统计推断，另一 个是抽样理论抽样理论与试验设计试验设计。本课程仅研究第一个方面的内 容。统计推断主要研究抽样分布抽样分布、参数估计参数估计、假设检验假设检验等 本章的主要内容如下： 6.1 总体、样本和统计量总体、样本和统计量 一、总体与样本一、总体与样本 1、总体总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项 数量指标
2、，可记为X、Y、Z、 、 、 等，它是随机变量。 2、个体个体：组成总体的单元。通常也指与总体对应的 某项数量指标，可用X1，X2， 等表示，它们也是随机变量。 3、样本样本：来自总体的部分个体X1， ，Xn 。n称为 样本容量。若是按随机抽样原则得到的，则称其是“简单简单 随机样本随机样本”或简称为“随机样本随机样本”或“样本样本”。 按随机抽样原则得到的样本满足以下两个条件： （1）独立性独立性： X1， ，Xn 相互独立； （2）同分布性同分布性： X1， ，Xn与总体同分布。 这两个条件也叫“独立同分布独立同分布”，常简记为“iid ”. 因此 ，来 自总体X的随机样本X1， ，Xn可
3、记为 , XXiidn其中f(x)是X的概率函数。 样本观测值样本观测值：对样本X1， ，Xn进行观测，即可得一 组观测值x1， ，xn. x1， ，xn也叫样本观测值。 X1， ， 等，)(xfXiidn或或X1， ， 二、统计量二、统计量 样本X1 , , Xn的函数g(X1 , , Xn)称为是总体X的一个 统计量，若g(X1 , , Xn)与任何未知参数无关。 若x1, , xn是样本X1 , , Xn的观测值观测值，则g(x1 , , xn)是 g(X1 , , Xn)的观测值观测值. 显然，统计量是r.v.，而观测值不是。 niiniixnxXnX111,1. 1其观测值为样本均值
4、 niiniixxnsXXnS122122)(11,)(11. 2其观测值为样本方差下面介绍几个常用的统计量 22,)(ssSS其观测值为标准差样本均方差阶样本矩k3.4. 极大、极小统计量和顺序统计量极大、极小统计量和顺序统计量 X(n)=maxX1, , Xn，X(1)=minX1 , , Xn， 分别称为样本的极大统计量和极小统计量。 其观测值分别是: x(n)=maxx1, , xn和x(1)=minx1 , , xn niiknik ikxxnbXXnB121)(1,)(1其观测值为中心矩 nik iknik ikxnaXnA111,1其观测值为原点矩一般的，有顺序统计量顺序统计量：
5、 X(1) X(k) X(n) . 一、经验分布函数一、经验分布函数 1、构造、构造 将样本观测值： x1， ，xn从小到大排列得 )()2()1(nxxx为总体X 的一个经验分布函数。 .):()(nxxxNxFii n易知其中N(A)表示A中元素个数。 6.2 经验分布函数和频率直方图经验分布函数和频率直方图 )()1()()1(, 1) 1, 2 , 1(,/, 0 )(nkkn xxnkxxxnkxx xF称2、经验分布函数的性质经验分布函数的性质 （1）经验分布函数是分布函数； （2）K.Glivenko(格涅汶科)证明： . 10| )()(|lim xFxFSupPn Rxn即经
6、验分布函数依赖于样本值。对固定的xR, Fn(x)作为样 本X1 , , Xn的函数，它是n次独立重复试验中事件X x发 生的频率。若F(x)=PX x是总体X 的分布函数，则它也是 X x的概率。根据贝努里大数定理，应该有： ).()(xFxFP n),()(.xFxFsa n实际上，格涅汶科还证明了一个更好的结论。 二、频率直方图二、频率直方图 在实际工作中，我们得到一组数据x1 , , xn后，往往需要 了解该组数据是来自何种总体的样本观测值。以连续型情形 为例，我们希望找到总体X 的密度函数的近似曲线。利用频 率直方图可实现这一目的。 根据 x1 , , xn作频率直方图的方法如下作频
7、率直方图的方法如下： 找出x(1)和 x(n) , 选择两个实数a, b, 使得a适当小于x(1)，b适 当大于x(n). 取k1个分点a=t045)，近似地有 其中z 为N（0，1）的上侧 分位点。 .)1n2z(21)n(22 二、二、t分布分布 1.构造构造 若 N(0, 1), 2(n), 与 独立，则 ).n( tn/T t(n)称为自由度为n的t分布。 其密度函数为 tnt nnn tfn ,)1 ( )2()21( )(212密度函数f(t)的图形与N(0, 1)的密度函数的图形 很象，只是 t(n)的图形两端尾巴厚一些，腰瘦一些。 t)(tf0t(n) 2.基本性质基本性质:
8、(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。事实上，f(-t)=f(t)。 (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即 3.分位点分位点 设Tt(n)，若对 ：00， 满足 PT t (n)= ，则称t (n)为t(n)的上侧 分位点；存在 t /2(n)0， 满足 P|T| t /2(n)= ，则称t /2(n)为t(n) 的双侧 分位点. tettftn,21)()(lim22t)(tf0t(n) 三、三、F分布分布 1.构造构造 若 1 2(n1)， 2 2(n2)， 1， 2独立，则 ).n,n(Fn/n/F21 2211 F(n1, n2)称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2
9、的 F分布。其密度为 0, 00, )1)(2()2()/)(2()(2/ )(2121122/ 21212111yy ynnnnynnnnyhnnn n2. F分布的分位点分布的分位点 对于 ：00， 满足PF f (n1, n2)= ， 则称f (n1, n2) 为F(n1, n2)的上侧 分位点；类似地，称f1- (n1, n2)为 F(n1, n2)的下侧 分位点。 可以证明： ).n,n(f /1)n,n(f12211 h(y) FF(n1, n2) ),(21nnfy 四、正态总体的抽样分布四、正态总体的抽样分布 ) 1, 0(/),(,. 12 1NnXUNXXiidn则若这里分
10、布N(0, 1)也称为U分布分布。 ).1(/)3();1() 1()2(;) 1 (),(,. 22 22 22 1ntnSXTnSnSXNXXiidn相互独立与则若.2) 1() 1().2(/1/1)(,)2(212 222 11221 21212 22 1称为混合样本方差其中就有假定进一步地nnSnSnSnntnnSYXTww);1, 1(/) 1 (.),(,),(,. 3212 22 22 12 12 2212 11121nnFSSFNYYNXXiidniidn则且两样本独立若五、顺序统计量及其分布五、顺序统计量及其分布 其中，X(n)=maxX1, , Xn，X(1)=minX1
11、 , , Xn， 分别称为样本的极大统计量和极小统计量。 其顺序统计量为： X(1) X(k) X(n) . .)(,X,1xXPxFXXiidn设1.极大、极小统计量及一般顺序统计量的分布极大、极小统计量及一般顺序统计量的分布 (1) 极大、极小统计量的分布极大、极小统计量的分布 Gn(x)=PX(n) x=F(x)n ， G1(x)=PX(1) x=11F(x)n 若总体X 有概率密度f (x), 则X(n) 和X(1)的概率密度分别是 gn(x)=nF(x)n1f (x), g1(x)=n1F(x)n1f (x). 2. X(k)的概率密度和的概率密度和X(j)与与X(k)的联合概率密度
12、的联合概率密度 rnrnkrn rkkyFyFyXPyG)(1 )()()()(nrnrnkrn ryFyFyF)()(1 )()(1 )()(yGdydygkkrnrnkrn ryFyfyFr)(1)()()(11)()()()(1 )()(111 yfyFnyfyFyFrnnrnrnkrn r).()(1 )()!()!1(!1yfyFyFknknknk也可用书上的方法(p211)得到X(k)的概率密度。 类似地，可求得X(j)和X(k) 的联合概率密度如下： ., 0),()()(1 )()()()!()!1()!1(!),(11elsewhereyyyfyfyFyFyFyFknjkjn
13、yygkjkjkn jjk jkj jkjjk特别地，取j=1, k=n，即得X(1)和X(n) 的联合概率密度如下： ., 0),()()()()1(),(112 1 1, 1elsewhereyyyfyfyFyFnnyygnnn n nn从而，可得到样本极差Rn=X(n) X(1)的概率密度。 0, 00,)()()()() 1()(112 11 rrdyyfyrfyFyrFnnrhnRn本章小结本章小结 1、总体与样本、总体与样本 2、统计量概念与几个常用的统计量、统计量概念与几个常用的统计量 3、经验分布函数与频率直方图、经验分布函数与频率直方图 4、数理统计中的几个常用分布（关键是构
14、造）、数理统计中的几个常用分布（关键是构造） 5、正态总体的抽样分布定理、正态总体的抽样分布定理 6、顺序统计量及其分布、顺序统计量及其分布 第六章第六章 例题解析例题解析 服从服从 分布分布, 参数为参数为 . 1. 设设r.v. X和和Y相互独立且都相互独立且都服从正态分布服从正态分布 N(0, 32), 而而X1， ，X9和和Y1， ，Y9分别分别是来自总体是来自总体X和和Y的简单随机样的简单随机样 本本, 则统计量则统计量 22 1919YYXXU 2. 从正态分布从正态分布N(3.4, 62)中抽取容量为中抽取容量为n的样本的样本, 如果要求其如果要求其 样本均值位于区间样本均值位于区间(1.4, 5.4)内的概
