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1、2 0 1 4 年第6 期 福建中学数学 2 3 万变不离其宗数学中的不变性思想 苏建 民 吴泽民 l 福建省泉州第五 中学2福建省泉州师范学院 ( 3 6 2 0 0 0 ) 茫茫题海学生深陷其 中 惘然 ；三载辛苦 ，一 旦考题变化新颖又往往不知所措而望洋兴叹!近年 来，福建省的高考、省质检的试题中渗透了一些具 有高等数学背景 的题 目这 些试题立意深刻、变化 新颖 ，即使第一线 的教 师也会感到困惑 大干世界 尽管变化无穷，却仍然有一 定之规 譬如 ，自然界 中的能量守恒定律反映的是 ：能量可 以从一种形式 转化为其他形式，但在转化过程中能量的总量保持 不变 数学作为 自然科 学基 础的
2、一门科学语言 ，必 然对此现象有 所反映 正 所谓万变不离其宗 ，尽管 数学 问题中有着千变万化 的变换形式 ，但真正反 映 其数学本质 的却是在变换过程中保持 不变 的性 质 德 国数学家 F Kl e i n在其著名的 E r l a n g e n纲领 中， 正是 以这种不变性思想来刻 画几何学的定义 当今 中学数学 中，几何学的新课 改体现 的就是这样一种 理念 本文拟以近年来福建省的高考、省质检中的 一些试题，尤其是压轴题为例，来说明数学中的不 变性思想在解题中的指导作 用 1 运算关系中的不变性 例 1 ( 2 0 0 9年省质检福建卷 理 1 5 )对于等差 数列 a 有如下命题
3、 ：“ 若 是等差数列，a =0， S ， t 是互不相等的正整数 ， 则有 一 一 1 ) = 0 ” 类 比次命题 ，给出等比数列 相应 的一个正确命题 是 问题的困难在于 ：一个是减法运算、一个是除 法运算，两个不同的运算如何找出它们之间的“ 共 性” ，对学生的思维具有极大的挑战性 ，这正是它作 为压轴题的原 因所在 尽管从表面上来看 ，它们 是 两种不同形式的运算 ，但是从运算关系的角度来说 ， 却具有某种 内在 的统一性 正实数的乘法运算结构 与实数的加法结构是“ 相同的” ( 这两个群同构) ，也 就是在同构映射Y ( x 1 = I n 之下，乘法运算关系 a b： C与加法运
4、算关系 I n “ +I n b =i n C 保持不变 ， 即 f ( a 6 ) =厂 ( 口 ) + f( b ) 基于这种不变性任容易知道 ： 如果 b n 是等比数列，则 =l n 6 ) 是等差数列，进 而有 = 1 ， 1 ) ll1 一 ( ， 一 1 ) In 6 = 0 或 1 _ 需 要指出的是 ，正是这种 内在的统一性使得我们能够 利用对数函数 的性质来简化乘 、除运算 类似 的题 目还有 ： 例 2 ( 2 0 1 3年高考福建卷 理 9 )已知等比数 列 a 的公比为 g， 记 = 1 ) + l + ( ) + 2 + + ( ， = l - - - 1 m am
5、( n-1 ) + m( ， n N )，则 以下结 论一定正确的是 A数列 为等差数列，公差为q B 数列 为等比数列，公比为q C数列 C n 为等比数列 ，公 比为 q D数列 为等比数列，公比为 本题以课本习题 ：“ 设 是等差数列，证明 S 1=a 1 +日 2+ + ， =a n 十 l + + 2+ + ， = d + a + + 仍为等差数列，并求出公差” 为背景 ，改编成对应的等 比数列的问题 利用 习题 的结论和前述不变性关系，等差对应等比；公差对 应公 比；片断和对应片断积就可以得到答案 C 如果不要求上述的映射 _厂 ( ) 是一一对应 ，就得 到另外一种单向不变性 ，
6、即两个群之 间的同态 比 如说 ：用 f ( x ) = 表示整数 被 3除所得 的余数这 样一种对应关系，由于两个整数之和被 3除所得的 余数等于这两个整数被 3 除所得 的余数之和 ，即 +Y 】 = + Y ，因此整数 的加法运算关系在 映射 f ( x ) = 的作用之下仍然保持不变_厂 + J ， ) = l厂 ( ) + _厂 ( ) 例 3 ( 2 0 0 9年高考福建卷 理 1 5 )五位同学围 成一圈依序循环报数 ，规 定 ：第一位首次报出的 数为 1 ，第二位 同学首次报出的数也为 1 ，之后每位 同学所报 出的数都是前两位 同学所报 出的数之和 ； 若报出的数为 3的倍数
7、，则报该数的同学需拍手 一次 已知 甲同学第一个报数 ，当五位 同学依序循 环报到第 1 0 0个数时， 甲同学拍手的总次数为 如果按顺序直接考查每位同学所报出的数 a ， 由于数据很大难以发现其规律性 但是拍手 的次数 仅与3 的倍数有关， 利用上述的同态映射f ( x ) = X 保 2 4 福建中学数学 2 0 l 4 年第 6 期 持 加 法 运 算 关 系 不 变 ，可 以 转 化 为 考 查 数 列 b =f ( ) ： a 的变化规律 ：【 1 】 ， 1 ， 2 ， 0 】 ， 2 2， 2 2， 1 ， 0 ， 1 】 ， 1 J _ 容易发现数列 6 以 8为周期 ； 拍手
8、 的次数 以 4为周期 ；有五位同学，因此每位 同学拍 手 的次数以最小公倍数 2 0为周期 ；而当 =1 6 时， 甲同学第一次拍手，由1 6 + 2 0 ( m 一 1 1 1 0 0 知甲同学 拍手的总次数为 m=5 2顺序关系 中的不变性 前面讨论的是运算结构 中的不变性问题 ，现在 考虑 中学数学另一类常见的顺序结构( 大小关系) 中的 不变性问题 例 4 ( 2 0 1 3年高考福建卷 理 1 0 ) 设 ， 是 R 的两个 非空子 集 ，如果存在 一个从 到 的函数 Y：f( x ) 满足 ：( i)T= f ( x ) l X ；( i i )对任意 l ， X 2 S，当X
9、1 X 0 ， 都有丛 二 量 X 一 粗 略一看 ，是个有关二元 函数的最小值问题 ，有点超 纲 但是如果把问题变形为 g ( x ) 一 k x ! g ( x ) k x ， 利用上述 的不变性思想，就可以把 问题转化为 函数 h ( x ) =g ( x ) 一k x的 单 调 性 问 题 进 而 由 不 等 式 ( ) 0去求出k的取值范围 更为细致 的顺序不变性 问题还有 2 0 1 2年省质检 福建卷 文 1 2 例 6( 2 0 1 2 年省质检福建卷 文 l 2 ) 设函数 ( ) 及 其 导 函 数 ( ) 都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 则 “ V x l ，
10、 X 2 R ，且 X l 2 ， l ( 1 ) ( 2 ) fX ， 需要证明 - ( x 。 一 X ) f ( x 。 ) - j( ) X 1 一X 2 ，构造函数 g ( x ) =f( x ) 一 ， 可 转 化 为 证 明 其 单 调 性 由 l ( ) I 1 ， 知 g ( x ) =f ( ) 一 1 0， 可得 g ( x 1 ) g ( x 2 )， 右边不等式得证 ，左边 同理可证 反之 ，f ( x ) =s i n X 满足题设条件 ，但 l l厂 ( 0 ) 1 ，充分性不成立 3几何变换中的不变性 有关几何 图形变换 中的不变性 问题 ，多数与 函 数图像的
11、对称性 、周期性相联系 例 7 ( 2 0 0 9 年 高 考 福 建 卷 理1 0) 已知 f ( x ) = + + 0 ) 的图象关于 =一 - 对称 ， 据 日 此可推测 ，对任意的非零实数 a， b ， C ， m， ， P，则 X 的方程 _厂 ( x ) 】 + ( ) + P=0的解集不可能是 A l ， 2 B 1 ， 4 C 1 ， 2 ， 3 ， 4 D 1 ， 4， 1 6 ， 6 4 ) 基于 问题 的难度 ，命题 者给 出了充分的提示 ： 厶 图像 关于 =一 对称 ，即方程 f ( x ) =0的两 个根 a L ， 关于 =一 - 对称 更准确地说 ，当 c 变
12、化时， a h 方程 ( ) =0的两个根之和 +X ： =一 保持不变 ( 与 c的变化无关) 假设方程 m y + +P=0 的两个根为 Y ， ， Y ，对应复合方程 厂 ( ) 】 + ( ) +P=0的四个 根分别为 ， X ， X ， X ，由不变性知应有 X ， + X 2 =X X 3 k + =一 保持不变 据此可判断选项 D是不可能 的 a 类似这种对称性的问题 ，还有 2 0 1 3年高考福建 卷 文 1 2 在保距变换 之下，图形的位置发 生变化 ，但其 几何性质仍然保持不变 例 8 ( 2 0 1 0年高考福建卷 理 2 0 ) (I )已 知函数f ( X ) =
13、X X，其图象记为曲线C (i)求函数的单调 区间； ( i i ) 证明： 对于任意非零实数 ， 曲线 C与 其 在 点 ( X 1 ， f( x ) )处 的 切 线 交 于 另 一 点 ( ， ， f( x ) ) ， 曲线 C与其在点 处的切线交于另一 点( x 3 ， f ( x ) ) ，线段 ， 与曲线 C所围成的 封闭图形的面积分别记为 ， ，则 为定值 ； 2 ( )对于一般 的三次函数 g ( x ) =a N + + C X + 0 ) ，请给出类似于 (I )( i i )的正确命题 ， 并予以证明 对于 问题 ( ) ，犹如在解析几何中为方便于研 究 曲线 的几何性质
14、 ，通 常利用平移变换将曲线方程 转化为简单 的标准形式去研究 因为面积的大小在 平移变换下保持不变 ，可将 曲线 Y=g ( x ) 的对称 中心 L ( 一 ， g ( 一 ) ) 平移至原点而得到类似于 ( I)( i i ) j a 3 a 中标准形式的函数 h ( x ) =a x + ，使 问题得以解决 数学 中的不变性思想在其各个分支中都有广泛 的应用，可谓是俯仰 皆拾 如 ：代数 中的先化筒后 求值，意指变换前后数值不变 ( 恒等变形) ；解方程 过程中的形变解不变 ( 同解变形) ；解析几何中的标 准型蕴含的是代数表达形式不同，但几何性质不变 ； 函数论 中的不动点理论 ；概率统计中的频率稳定性 ； 一直到现代数学 中分形理论的 自相似性等等 如果在高中数学教学中，能够有意识地去渗透 这种不变性思想 ，必将使学生对数学的本质有更深 刻 的理解 ，起到事半功倍的作 用；让学生在千变万 化 的数学形式中，找到一条以不变应万变的通途 一对姊妹不等式的另证及推广 吴晓明 福建省莆 田第一 中学 ( 3 5 1 1 0 0 ) 文 1 夏开平老师用几何平均不等式给出以下 两个不等式 命题 1若口 ， b ， C R + ，且 a + b + C = 1 ，则 ( 1 ) ( 2 ) + + c1-5-+ a 2 ， + +
