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1、立体几何中三角形的四心问题 一、外心问题（若 PA=PB=PC,则 O 为三角形 ABC 的 外心） 例 1设 P 是ABC 所在平面外一点，若 PA，PB，PC 与平面所成的角都 相等，那么 P 在平面内的射影是ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 如图所示，作 PO平面于 O，连 OA、OB、OC，那么PAO、PBO、PCO 分别是 PA、PB、PC 与平面所成的角，且已知它们都相等. RtPAORtPBORtPCO. OAOBOC 应选 B. 例 2 RtABC 中，C，BC，若平面 ABC 外一点 P 与平面 A，B，C 三点等距离，且 P 到平面 ABC 的距离为
2、，M 为 AC 的中点 （） 求证：PMAC； （）求 P 到直线 AC 的距离； （）求 PM 与平面 ABC 所成角 的正切值 解析：解析：点 P 到ABC 的三个顶点等距离，则 P 在平面 ABC 内的射影为ABC 的外心，而ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点 证明证明 （）PAPC，M 是 AC 中点，PMAC 解解 （）BC，MH，又 PH， PM 82 18 80 2 2 2 2 = + = + MH PH ，即 P 到直线 AC 的距离为； （）PM=PB=PC，P 在平面 ABC 内的射线为ABC 的外心， C=90 P 在平面 ABC 内的射线为 AB 的中点 H。 P
3、H平面 ABC，HM 为 PM 在平面 ABC 上的射影， 则PMH 为 PM 与平面 ABC 所成的角，tanPMH 9 40 18 80 = = MH PH 例 3斜三棱柱 ABCA1B1C1 的底面ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A1到 A、B、 C 三点的距离都相等，且 AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。 解析：解析：A1A=A1B=A1C 点 A1 在平面 ABC 上的射影为ABC 的外心，在BAC 平分线 AD 上 AB=AC ADBC AD 为 A1A 在平面 ABC 上的射影 BCAA1 BCBB1 BB1C1C 为矩形，S=BB1BC=156 取 AB 中点 E，连
4、 A1E A1A=A1B A1EAB 12 ) 2 AB ( AA E A 2 2 1 1 = = 20 S S B B AA C C AA 1 1 1 1 = = S 侧=396 二、内心问题（若 P 点到三边 AB,BC,CA 的距离相等，则 O 是三角形 ABC 的 内心） 例 4如果三棱锥 SABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都 相等，且顶点 S 在底面的射影 O 在ABC 内，那么 O 是ABC 的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 解解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ABC的三边的距离相等， 因而 O 是ABC 的内心，因此选 D. 说明说明三
5、角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们 的定义和性质必须掌握. 三重心问题（若 PA 垂直 PB，PB 垂直 PC,PC 垂直 PA,则 O 是三角形 ABC 的 重心 ） 例 6 如图 224： B 为ACD 所在平面外一点， M、 N、 G 分别为ABC、ABD、 BCD 的重心， （1）求证：平面 MNG/平面 ACD； （2）求 ADC MNG S S : 解析：解析： （1）要证明平面 MNG/平面 ACD，由于 M、N、G 分别 为ABC、ABD、BCD 的重心，因此可想到利用重心 的性 质找出与平面平行的直线。 证明:证明:连结 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分
6、别于 P、 F、H。 M、N、G 分别为ABC、ABD、BCD 的重心， 则有： 2 GH BG NF BN MP BM = = = 连结 PF、FH、PH 有 MNPF，又 PF平面 ACD，MN平面 ACD。 同理：MG平面 ACD，MGMNM， 平面 MNG平面 ACD A B D C P H F M G N 图 224（2） 分析： 因为MNG 所在的平面与ACD 所在的平面相互平行， 因此， 求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。 解：由（1）可知 3 2 BH BG PH MG = = ， MG 3 2 PH，又 PH 2 1 AD，MG 3 1 AD 同理：NG
7、3 1 AC，MN 3 1 CD， MNG ACD，其相似比为 1：3， ADC MNG S : S 1：9 点评点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。 比如重心定理， 三角形的三边中线交点叫做三角形有重心， 到顶点的距离等 于它到对边中点距离的 2 倍。 例 7 如图 926，P 为ABC 所在平面外一点，点 M、N 分别是PAB 和 PBC 的重心求证：MN平面 ABC （三角形的三条中线交于一点，称 为重心，重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的 2 倍） 解析：解析：如图答 916，连结 PM 并延长交 AB 于 D，连结 PN 并延长交 BC 于 E，
8、连结 DE在PAB 中， M 是PAB 的重心， 2 = MD PM ，同理 在PBC 中有 2 = NE N P ，在PDE 中， NE PN MD PM = ， MNDE， MN平面 ABC，DE 平面 ABC， MN平面 ABC 例 9 如图，在三棱锥 SABC 中，A1、B1、C1 分别是SBC、SCA、SAB 的重心，(1)求证：平面 A1B1C1平面 ABC；(2)求三棱锥 SA1B1C1 与 SABC 体积之比.解析：解析：本题显然应由三角形重心的性质，结合成比例线段的关系推导出“线 线平行”再到“线面平行”到“面面平行” ，至于体积的比的计算只要能求 出相似三角形面积的比和对应
9、高的比就可以了. 证：证：(1)： A1、B1、C1是SBC、SCA、SAB 的重心，连 SA1、SC1并延 长交 BC、AB 于 N、M，则 N、M 必是 BC 和 AB 的中点.连 MN SM SC 1 SN SA 1 3 2 ， A1C1MN. MN平面 ABC， A1C1平面 ABC. 同理可证 A1B1平面 ABC. 平面 A1B1C1平面 ABC. (2)由(1) MN C A 1 1 3 2 ，MN 2 1 AC， A1C1 3 1 AC. 同理可证：A1B1 3 1 AB，B 1C1 3 1 BC. A1B1C1ABC， S 1 1 1 C B A 9 1 S ABC. 设三棱
10、锥 SABC 的高为 h，SA1B1C1 的高为 h1 则有： h h 1 SN SA 1 3 2 ,h 1 3 2 h. ABC S C B A S V V 1 1 1 h S h S ABC ABC 9 1 3 1 3 2 3 1 27 2 . 评析：评析： 要掌握线面平行的相互转化的思想方法外， 还要有扎实的相似形和线 段成比例的基础. 四垂心问题(若 PA=PB=PC,AB=AC,则 O 点在 BC 的中垂线上) 例 10已知四面体 SABC 中，SA底面 ABC，ABC 是锐角三角形，H 是点 A 在面 SBC 上的射影求证：H 不可能是SBC 的垂心 分析：本题因不易直接证明，故采
11、用反证法 证明：假设 H 是SBC 的垂心，连结 BH，并延长交 SC 于 D 点，则 BHSC AH平面 SBC， BH 是 AB 在平面 SBC 内的射影 SCAB （三垂线定 A B C H D S理） 又 SA底面 ABC，AC 是 SC 在面内的射影 ABAC（三垂线定理的 逆定理） ABC 是 Rt与已知ABC 是锐角三角形相矛盾，于是假设不成立 故 H 不可能是SBC 的垂心 例 11 如图 240：P 是ABC 所在平面外的一点， PAPB，PBPC，PCPA，PH平面 ABC，H 是 垂足。 求证：H 是 ABC 的垂心。 证明：证明：PAPB，PBPC， PA平面 PBC，
12、BC平面 PBC BCPA PH平面 ABC，BC平面 ABC BCPH BC平面 PAH，AH平面 PAH AHBC，同理 BHAC，CHAB， 因此 H 是ABC 的垂心。 例 14 如图 932，ABD 和ACD 都是以 D 为直角顶点的直角三角形， 且 AD=BD=CD，BAC=60求证： （6） 图 932 （1）BD平面 ADC； （2）若 H 是ABC 的垂心，则 H 为 D 在平面 ABC 内的射影 解析：解析： （1）设 AD=BD=CD=a，则 a AC AB 2 = = BAC=60， a BC 2 = 由勾股定理可知， BDC=90 即 BDDC， 又 BDAD， AD
13、DC=D， BD平面 ADC （2）如图答 921，要证 H 是 D 在平面 ABC 上的射影，只需证 DH 平面 ABD连结 HA、HB、HC H 是ABC 的垂心， CHAB A B D C H PCDDA，CDBD， CD平面 ABD， CDAB CHCD=C， AB平面 DCH DH 平面 DCH， ABDH，即 DHAB， 同理 DHBC ABBC=B， DH平面 ABC 五、四心综合比较考查 例 15 P 是ABC 所在平面外一点，O 是点 P 在平面 上的射影 （1）若 PA = PB = PC，则 O 是ABC 的_心 （2）若点 P 到ABC 的三边的距离相等，则 O 是AB
14、C_心 （3）若 PA 、PB、PC 两两垂直，则 O 是ABC_心 （4） 若ABC 是直角三角形， 且 PA = PB = PC 则 O 是ABC 的_心 （5）若ABC 是等腰三角形，且 PA = PB = PC，则 O 是ABC 的_心 （6）若 PA、PB、PC 与平面 ABC 所成的角相等，则 O 是ABC 的_心； 解析：解析： （1） 外心 PA=PB=PC OA=OB=OC， O 是ABC 的外心 （2）内心（或旁心） 作 ODAB 于 D，OEBC 于 E，OFAC 于 F， 连结 PD、PE、PF PO平面 ABC， OD、OE、OF 分别为 PD、 PE、PF 在平面 ABC 内的射影，由三垂线定理可知，PDAB，PEBC， PFAC 由已知 PD=PE=PF， 得 OD=OE=OF， O 是ABC 的内心 （如 图答 923） （3）垂心 （4）外心 （5）外心 （6）外心PA 与平面 ABC 所成的角为PAO，在PAO、PBO、PCO 中， PO 是公共边，POA=POB=POC=90，PAO=PBO=PC
