数学文化(12)

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1、 135（十二） （十二） 第二节 “ 类比”的观点 一、 什么是类比 类比， 是根据两个 （或两类） 对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一种推理方法， 也是一种观点。 类比的推理是一种“合情推理” ，不是证明，它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、一种手段。 二、 插值问题中的类比 1 问题：有函数不知其式，在处取值a，在处取值b，在处取值c，问函数 （解析式）为何？ 2 类比：有物不知其数，三三数之剩a，五五数之剩b，七七数之剩c，问物几何？ 136这是我们在第三节“韩信点兵与中国剩余定理”中已经

2、解决的问题。当时我们有一种成功的方法,叫“单因子构件凑成法” 。这种方法是：对每个要素分别做出一个构件，叫单因子构件，再把它们凑在一起，从而解决问题。 具体说是，先找到用 3 除余 1，用 5 和 7 除均能除尽的数 70；再找到用 5 除余 1，用 3 和 7 除均能除尽的数 21；找到用 7 除余 1，用3 和 5 除均能除尽的数 15；然后算出3，5，7=105。最后令s=702115105 ()abck kZ+，即为所求。 3 原问题的解法 通过类比，发现插值问题（有函数不知其式的问题）与“有物不知其数的问题”结构相同，因此可以考虑用“单因子构件凑成法” ： 先作函数( )p x，在处

3、值为 1，在, 处值均为 0；再作函数( )q x，在处值为 1， 在, 处值均为 0； 再作函数( )x， 在处值为 1， 在, 处值均为 0。 137即 ( )1p=， ( )( )0pp= ； ( )1q=， ( )( )0qq= ； ( )1 = ， ( )( )0 =，那么 ( )( )( )( )f xap xbq xcx=+ 就是所求的函数。 下边求( ), ( ), ( )p x q xx。最简单的是用多项式的方法。比如设( )p x是一个多项式， 则 据 条 件( )( )0pp=， 它 有 两 个 一 次 因 式 ， 可 令( )()()p xxx= ，再用( )1p=去求

4、。1()() =，1/()() =。 ()()( )()()xxp x =。 138同理求出()()( )()()xxq x =，()()( )()()xxx =。 于是得()()()()()()( )()()()()()()xxxxxxf xabc =+。 经验证，它符合要求，称为插值公式。即该函数在, 三点，插进去的都是预先指定的值, ,a b c它简单， 明快， 可顺利地推广到任意有限多个点插值的情况。这样，就可以用一个连续的函数去拟合离散的测量结果。 华罗康由此联想到如何解决具有类似结构的各种问题。 正是他把上述解决问题的基本思想称为“单因子构件凑成法” ，并概括成如下的“合成原则”

5、：要做出具有平行的，类似的几个性质 A，B，C 的一个数学结构，而 A，B，C 分别以某种量, 刻划，这时，可用“单因子构件凑成法” ：先作 B，C 不发生作用，而 A 取单位量的构件，再作 C，A 不发生作用，B 取单位量的构件；再作 A、B 不发生作用，C 取单位量的构件。然后用这些构件凑出所求的结构。这个原则在有的书里称为“孙子华原则” 。 139三、 分割问题中的类比 1 问题：5 个平面最多把空间分为几个部分？ 平面互相尽可能多地相交，才能分割最多。如果 5 个平面全都平行，那末空间分成的是 6 部分，就较少。但 5 个平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，我们想起从“抓三堆

6、”趣味问题中学到的数学文化，先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。 2问题一般化：n个平面最多把空间分为几部分？ 设分为( )F n个部分，再令n=1，2，3，把问题特殊化。 3问题特殊化：从简单的情况做起，以便“类比” (1)F=2，(2)F=4，(3)F=8，(4)F= ？ 4 个平面的情况想不清楚了。但想到要使平面相交最多，才能把空间割最多。平面相交最多，有两个含义，一是每个平面都与其它的所有平面相交，二是每个平面都不过它以外任意三个平面的交点（三140个平面一般情况下相交于一个点） 。 由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延

7、展成四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？到底现在把空间分成了几个部分呢？暂难想象。由此我们想到去类比“直线分割平面”的情形。 4 类比 3 条直线分割平面的情形 这也可以看成是把三角形的三条边均延长为直线， 看这 3 条直线把平面分为几部分。数一数，是 7 部分。这对我们有什么启示？（附图） 我们分析一个这 7 个部分：是有限的部分，原三角形内部；而几个无限部分，或与原三角形有公共顶点（，） ，或与原三角形有公共边（，） 。 把它们加起来，于是 1+3+3=7。所以 3 条直线分割平面，最多分141为 7 个部分。 5 F（4）=1+4+6+4=15 ， F（5）=？ 类比考虑四面体的四

8、个面延展成 4 个平面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体内部）数为 1；无限部分与原四面体或有一个公共顶点（有 4 个部分） ，或有一条公共棱（有 6 个部分） ，或有一个公共面（有 4 个部分） ，于是所分空间总部分数为 1+4+6+4=15。 以下仍要考虑F（5）=？ 这就是一开始提出的问题：5 个平面最多把空间分为几个部分？ 这一问题在平面上的类似问题是什么？是5条还是4条直线分割平面？又如何类比？想不清楚了。对我们来说，不如在“一般情形”下考虑问题：n个平面分割空间和几条直线分割平面。n条直线“处于一般位置” 的要求也可以说是： 任何两条不平行； 任何三条不共点。n个平面“处于一般

9、位置”的要求是：任两平面不平行；任四平面不共点（或说任三平面不共线）这是四平面不共点的必要条件，并充分。 142进而，我们类比直线上的问题：n个一般位置的点分割直线的问题。这一问题比较简单： n个点最多把直线分为1n+个部分。这对我们会有启发。 如果我们把极端情况有零个分割元素的情况也考虑在内，那么被“分割”成的部分数是 1。 下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的已取得的结果。 6 类比一般化 解释记号( ),( ),( )L nf n F n。然后看图。 分割元素个数 被分成的部分数 点分直线 直线分平面 平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8

10、4 5 （11） 15 1435 6 （16） （26） M M M M 1n (1)L nn= (1)f n (1)F n n ( )1L nn=+ ( )f n = ( )F n 于是，我们得到了一系列待解决的问题。弧立的问题有时难于理解，而解决系列问题有时比解决弧立问题好入手。现在，原问题“F（5）=？”已处在系列问题之中，比之原来的情形，求解已有进展。 7 （用类比的观点）猜想 观察上表中已得到的结果， 表中的数字间有什么联系？有什么规律性？ 从最右一列， 先以为有 “2 的方幂” 的规律， 但 8 后边的 1542=16，表明这猜想不对。 反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有 3

11、4； 7 7 8 14415 ， 以及联想到 3+4=7，7+8=15。 这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它“头上”的数与“左肩”上的数相加而得到。 这是我们解决原问题的钥匙吗？我们猜想它确是规律。 那我们把表按此规律，顺沿到n=5，原问题的解就是F（5）=26 ？ 但这种类比不是证明，只是合理的猜测；还需要分析这一猜测，以便证实这一猜测，或者否定这一猜测。这才是用类比归纳的方法去研究问题的决定性步骤。 8分析 我们的分析从n=4 时直线分平面入手， 我们已经通过顺沿上表猜想：4 条直线最多把平面划分为 11 个部分。它是正确的吗？我们在 3条直线分平面 为 7 个部分的基础上，再

12、添加一条直线（用红色） ，这条直线与原来的每条直线都相交，但又不过任意两条直线的交点。如右图。我们数一下，现在确实把平面分成了 11 个部分。所以这猜测是对的，但它为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认识，145也许还能从中找到理解一般情形的线索。 3 条直线分平面为 7 个部分；4 条直线就分平面为 11 个部分了，即增加了 4 部分；从 3 条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出4 部分？分析一下：新添的直线与原来 3 条直线每条都相交，而且交在与原交点不同的点，这就交出了 3 个新交点，这 3 点把新添的直线分为 4 段，每一段把它穿过的（由前 3 条直线分成的）那个区域一分为二

13、，因此“平面分割”增加了 4 个部分，这就是“4”的来历，而且这个分析表明，这个“4”也正是 3 点把直线分为 4 部分的“4” ，也就是“11”左肩上的“4” 。11=4+7 原来是这样产生的。这种分析令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信心。 9 再 类 比 得 一 般 情 形 的 公 式( )(1)(1)f nL nf n=+及( )(1)(1)F nf nF n=+ 我们再类比分析n=4 时平面分空间的情况。 这时我们不容易在平面的黑板上作立体图了，只能借助于刚才四面体延展的那个图来想像。但是我们可以从思维上、语言上类比刚才的情形。 146我们在 3 个平面分空间为 8 个部分的

14、基础上，再添加一个平面，这个平面与原来的 3 个平面都相交，并且又不过原来 3 平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了 3 条新直线，这 3 条直线把新添加的平面分为 7 个部分（就是上面“类比一般化”的大表格中的“7” ） ，每一部分把它穿过的（由前 3 个平面分成的）区域一分为二，因此“空间分割”增加了 7 个部分，而原有 8 个部分，这就是15=7+8 的来历。 这里的n=3 到n=4 的过渡，并没有任何特殊的地方，我们可以完全类似地分析由n-1 向n过渡时发生的情况，得到一般的表达式。 与段落“8”类似地可以得到公式：( )(1)(1)f nL nf n=+ 与段落“9”类

15、似地可以得到公式：( )(1)(1)F nf nF n=+。 这两个公式都是递推公式。 这种递推公式与斐波那契数列的递推公式有区别，但思想精神是相通的。 我们只再叙述一遍较为复杂的公式( )(1)(1)F nf nF n=+得到的147过程。它实际上只要在上面的叙述中，把“3 个平面”换为“n-1 个平面” ，把“8 个部分”换为“(1)F n个部分” ，把“3 条新直线”换为“1n条新直线” ，把“7 个部分”换为“(1)f n个部分” ，把“15”换为 “( )F n” 就完成了。 简单说， 是做下边的代换：31n，8(1)F n，7(1)f n，15( )F n。 n 个平面把空间最多分为( )F n个部分，求( )F n，不厌其繁地详细说一遍，就是： 我们在1n个平面分空间为(1)F n个部分的基础上，再添加一个平面，这个平面与原来的1n个平面都相交，并且又不过原来任 3 个平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了1n条新直线，这1n条直线把新添的平面分为(1)f n个部分，每一部分把它穿过的（由前1n个平面分成的）区域一分为二，因此， “空间分割”增加了(1)f n个部分，而原有(1)F n个部分，所以现在，空间共被分割成的部分数是( )(1)(1)F nf nF n