数学选修2-3基础知识点

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1、数学数学选选修修 2-3本书重点：排列组合、概率 第一章第一章 计计数原理数原理 第二章第二章 概率概率一、基础知识 1加法原理：做一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2种不同 的方法，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事一共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。2乘法原理：做一件事，完成它需要分 n 个步骤，第 1 步有 m1种不同的方法，第 2 步有 m2种不同的方 法，第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1m2mn种不同的方法。 3排列与排列数：从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素，按照一定

2、顺序排成一列，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列，从 n 个不同元素中取出 m 个(mn)元素的所有排列个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用m nA表示，m nA=n(n-1)(n-m+1)=)!(! mnn ,其中 m,nN,mn,注：一般地0 nA=1，0！=1，n nA=n!。4N 个不同元素的圆周排列数为nAnn=(n-1)!。5组合与组合数：一般地，从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个组合，即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原集合的一个子集。从 n 个不 同元素中取

3、出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用m nC表示：.)!( ! !) 1() 1( mnmn mmnnnCm nL6【了解】组合数的基本性质：（1）mn nm nCC；（2）1 1 n nm nm nCCC；（3）k nk nCCkn 1 1；（4）nnkk nn nnnCCCC2010 L；（5）1 11 k mkk mkk kk kCCCCL；（6）kn mnm kk nCCC 。7定理 1：不定方程 x1+x2+xn=r 的正整数解的个数为1 1 n rC。证明将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A，不定方程

4、 x1+x2+xn=r 的正整数 解构成的集合为 B，A 的每个装法对应 B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因 此为单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,xn),将 xi作为第 i 个盒子中球的个数，i=1,2,n，便得到 A 的 一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将 r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个，将球分 n 份，共有1 1 n rC种。故定理得证。推论 1 不定方程 x1+x2+xn=r 的非负整数解的个数为.1r rnC推论 2 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可

5、重组合，其组合数为.1m mnC8二项式定理：若 nN+,则(a+b)n=nn nrrnr nn nn nn nbCbaCbaCbaCaCLL222110.其中第r+1 项 Tr+1=r nrrnr nCbaC,叫二项式系数。9随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的频率nm总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件 A 发生的概率，记作 p(A),0p(A)1. 10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果，其中事件 A 包含的结果有 m 种，那么事件 A 的概率为 p(A)=.nm11.互斥事件：不

6、可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件 A1，A2，An 彼此互斥，那么 A1，A2，An中至少有一个发生的概率为p(A1+A2+An)= p(A1)+p(A2)+p(An).12对立事件：事件 A，B 为互斥事件，且必有一个发生，则 A，B 叫对立事件，记 A 的对立事件为A。由定义知 p(A)+p(A)=1.13相互独立事件：事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫 做相互独立事件。 14相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。 即 p(AB)=p(A)p(B).若事件 A1，

7、A2，An相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率为 p(A1A2 An)=p(A1)p(A2) p(An). 15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次 试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)=k nCpk(1-p)n-k.17离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变 量，例如一次射击命中的环数 就是一个随机变量， 可以取的值有 0,1,2,10。如果随机变量的可

8、能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 x1,x2,xi, 取每一个值 xi(i=1,2,)的概率 p(=xi) =pi，则称表x1x2x3xipp1p2p3pi 为随机变量 的概率分布，简称 的分布列，称 E=x1p1+x2p2+xnpn+为 的数学期望或平均值、 均值、简称期望，称 D=(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn+为 的均方差，简称方差。D叫随机变量 的标准差。18二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生 k 次的概率为 p(=k)=knkk nqp

9、C, 的分布列为01xiNpn nqpC00111n nqpCknkk nqpCnn npC此时称 服从二项分布，记作 B(n,p).若 B(n,p)，则 E=np,D=npq,以上 q=1-p. 19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数 也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为 p，则 p(=k)=qk-1p(k=1,2,)， 的分布服从几何分布，E=p1，D=2pq(q=1-p).二、基础例题【必会】 1乘法原理。 例 1 有 2n 个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？ 解 将整个结对过程分 n 步，第一步，考虑其中任

10、意一个人的配对者，有 2n-1 种选则；这一对结好后， 再从余下的 2n-2 人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有 2n-3 种选择，这样一直进行下去， 经 n 步恰好结 n 对，由乘法原理，不同的结对方式有(2n-1)(2n-3)31=.) !(2 )!2( nnn2加法原理。 例 2 图 13-1 所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？解 断路共分 4 类：1）一个电阻断路，有 1 种可能，只能是 R4；2）有 2 个电阻断路，有2 4C-1=5 种可能；3）3 个电阻断路，有3 4C=4 种；4）有 4 个电阻断路，有 1 种。从而一共有 1+5+4+1=

11、11 种可能。3插空法。 例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排 节目演出顺序的方式？解 先将 6 个演唱节目任意排成一列有6 6A种排法，再从演唱节目之间和前后一共 7 个位置中选出 4 个安排舞蹈有4 7A种方法，故共有4 76 6AA =604800 种方式。4映射法。 例 4 如果从 1，2，14 中，按从小到大的顺序取出 a1,a2,a3使同时满足：a2-a13,a3-a23，那么 所有符合要求的不同取法有多少种？ 解 设 S=1,2,14， S=1，2，10；T=(a1,a2,a3)| a1,a2,a3S,a2-a1

12、3,a3-a23,T=( 3 2 1,aaa) 3 2 1 3 2 1, ,| aaaSaaaS,若),( 3 2 1Taaa，令4, 2, 33 22 11aaaaaa，则(a1,a2,a3)T,这样就建立了从T到 T 的映射，它显然是单射，其次若(a1,a2,a3)T,令4, 2, 33 22 11aaaaaa，则),( 3 2 1Taaa，从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|=3 10| |CT =120，所以不同取法有 120 种。5贡献法。 例 5 已知集合 A=1，2，3，10，求 A 的所有非空子集的元素个数之和。 解 设所求的和为 x，因为 A 的每个元素 a，含 a

13、 的 A 的子集有 29个，所以 a 对 x 的贡献为 29，又 |A|=10。所以 x=1029.另解 A 的 k 元子集共有kC10个，k=1,2,10，因此，A 的子集的元素个数之和为)(101029 91 90 910 102 101 10CCCCCCLL1029。6容斥原理。 例 6 由数字 1，2，3 组成 n 位数(n3)，且在 n 位数中，1，2，3 每一个至少出现 1 次，问：这样的 n 位数有多少个？ 解 用 I 表示由 1，2，3 组成的 n 位数集合，则|I|=3n，用 A1，A2，A3分别表示不含 1，不含 2，不含 3 的由 1，2，3 组成的 n 位数的集合，则|

14、A1|=|A2|=|A3|=2n，|A1IA2|=|A2IA3|=|A1IA3|=1。|A1IA2IA3|=0。所以由容斥原理|A1UA2UA3|=|32131AAAAAAjiji iiIII =32n-3.所以满足条件的 n 位数有|I|-|A1UA2UA3|=3n-32n+3 个。7递推方法。 例 7 用 1，2，3 三个数字来构造 n 位数，但不允许有两个紧挨着的 1 出现在 n 位数中，问：能构造出多 少个这样的 n 位数？ 解 设能构造 an个符合要求的 n 位数，则 a1=3，由乘法原理知 a2=33-1=8.当 n3 时：1）如果 n 位 数的第一个数字是 2 或 3，那么这样的

15、 n 位数有 2an-1；2）如果 n 位数的第一个数字是 1，那么第二位只 能是 2 或 3，这样的 n 位数有 2an-2，所以 an=2(an-1+an-2)(n3).这里数列an的特征方程为 x2=2x+2，它的两根为 x1=1+3,x2=1-3,故 an=c1(1+3)n+ c2(1+3)n,由 a1=3,a2=8 得3223,323221cc，所以.)31 ()31(34122nn na8算两次。例 8 m,n,rN N+，证明：.022110 mr nr mnr mnr mnrCCCCCCCCCmn L 证明 从 n 位太太与 m 位先生中选出 r 位的方法有r mnC种；另一方面，从这 n+m 人中选出 k 位太太与r-k 位先生的方法有kr mk nCC种，k=0,1,r。所以从这 n+m 人中选出 r 位的方法有0110 mr nr mnr mnCCC