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1、有限元和有限差分的区别与相似之点葡萄牙?奥立维拉引言有限差分法有如下两个基本特征?为求近似解,在每个节点附近进行局 部插值以及使用配置方法。但是,如果将区域剖 分成许多子域,使在每个子域中设置唯一的节点,则在每个节点附近 的局部插值也可用于有限元。如果使用这类单元,那么有限差分法 和有限元法的区别只是在于?为了得到近似解,前者使用配置方法而后 者使用变分方法。然而,有意思 的是?用配置方法产生的近似解也可以用变分方法来得到。这样,就有可能平行地叙述两种方法业且阐 明它们的相似点与不同点。当然,以前有人尝试过将有限差分法作为一种变分方法来介绍。例如,? ?写过关于椭园问题的变分近似业且将有限差
2、分法看 作是提供这种近似 的一种方法。? ?对某些发展方程也做了同样的工作。但是,在这些 文章中对有限 元法并未做过类似 的 工作。这 种 类比的可能性 后 来 由?,?指出。在本文中符号。和?将用于表示与有限元 和有限差分有关。我们采用下述记号?与区域? ?。仁?有关的实希尔伯特空 间?。?,内积?,?,?,? ?犷而丁, 瓜 ,?、?。,?一?一,? ?的稠密线性子空间,算子?的定义域。?戈二?。万人,?,?,“一,?。万呈?。万,?,?。,?左? ?犷瓦一丽不,?,?一,?。?在?二中?,?。?万? ?支?“?。?维数?,?,?盆?了?,。?“,?,?维数?,?在?。中、?势。?口犬,?
3、成?维数?。?翻?么,?丫,公,?“?“几瓜,?“,? 二。军?。,?丑一?丑一?。?,?,、州?冬?,、毕二,?、?一 ?、。?,办、,?,叼讯?,?。夕丁平几口矛忿?,砚 ?,流人?打?,?与?,有关的线性空间?再,?” ,?忍?。二?”?。气?。分另? ?由函数 劝。二?,?功”?,?币, ?劣?张成 的线吮 空间。?盛?弓口?。一切次数?口?吕?,?,二?,、五盛,?,。的多项式函数构成的 空间。兀?。?。?汀一一?皿?三今尸,?刀,几?争吵。?纂子,山申?一线性、妙、,有易?再 下毒界纂吞?二口?空?一口若轰”口阶导数?口一色 才,叹?卢?。? ?一名?艺。 ?护?应?使时?,?与浮
4、春关皎微分算子。?,公?忿,、?公?刀?。?。,? ,?“的微分算子。?月? ?毯?二?,?矛?,私产乙万矛在?,中。了?等?。价。二?矽,?试耳二?。声、的守砂沪、以? ?一与然只?斌养的?、 斡谁。?。?,”,?。?。?二,?孟。?。,在?,中?孟月“?久 今?。与有限元法有关的逼近算子。?价。二?二?。护?心丫、与气夕、曰谬尹?直 净?。与有限 差分法有关的逼近算子。二、一 方?程我 们的问题是求 解方 程?二尹。?。任?即存在正敬“使?,?是正下有界的,? ?好约?尹?任?。?这?事卖课证问题是遣定韵。 、为简单起见,我们假定 ?。任?。 ,于是 方程? ?。? ?是一个?尸阶微 分方
5、程业且具有齐次主边界条件,即这些条件用函数的尸阶或低 于? ?价?包括尸二?的导数表示。三、离散化设在?中迭?个点,在口?上迭?个点组成一集合,它们 是?的内节点和外节点。将。剖分为?个子域。”,使得每个内节点氰位于不同的子域中,而不是蒙通有的有限元法那样位于 子域 的边界上。对每一个函数“任月?,使其与另一个属于有限维子 空间?久二?的函数?产相对应。我 们写作。,?。,并将,叫做插值算子。向题将得瘾散化。在每一个子 域?。中,函数?尹任H或应 由u在节点n以及位于n附近但不在n。一 外的一组节点上 的值插值得到,而不 应该象通常 的有 限元法那样用u在位于子域边界上 的节点值插值得到。我
6、们使用通常 的求和约定并写成u(劣)“功n(x)U盆在n。中(3.1)其中U二=u(x K),即数值U尺是:(x)的节点值。就 配置方法来说,我们假定在n二中A劝。二C二, Cn K是非零常数石我们因而假定L。 c =CA,。就变分 方法来说,非 零 函数是贫、娇吹 而不是一滩功。K,当然这相对于配 置方法来说就有重要的优点。空间H二 H是插值算子 的值域。d.和尹都可以是空间H至以及 HA上 的距离。我们有J, (:,)(一互一J。(:,) (3。2)其中,是 (2J2 )喇的企颧乙但是,在H二 HAUH久上dd成为一个拟距离(即用配置方 法得到 的近 似解与精确解一致),因此在 H产上只能
7、用d“,四屯插值误 差用符号表示 与HA有关的一些 量以及与它们在H又中的象有关的同一些量 之间的差。于刁:表示 I u一u,而乙F表示F(“+刁:)一F(u),其中F是 定义 在 H上 的任意函数。用l。表示f l。的直 径业且l二max几。.L., ._tn浦 民定矽“K之)“重n(之”具甲之一(之一之”卜六粉以乏=x。为心、直径为l的区域n二变到以y标窗的导数。=O为 心、直径为不。的区域n。作用于函数,叹 的符号D.表示其关于坐令SK。= S。,S。,夕n!D“平n(万)1,业且S。=艺S二一 。又设S:=万b。】(S。+P!)和SA=艺la。I(S。 + (ZP),)。二ZP下述定理
8、给出了 1乙u卜【un, u !d的界(见3)。定理4。1 :“若对任意n,存在整数口)0使得:a)uCq+ 1(nn)和Su护a=q十1右)尸n。c =L。 (完备性条件),二SuP!D。“ (x)】=M。+ :,n。 则,一1 +Sn 钊曰“ “溉丈了不了汀M。+; hq+,;“+,寸丈顶汀, ,定理4.2 :“若对任意n,存在整数q e妻0使得:的条件a)对互=q e+P成立。b)定理4。1 1对每个i Pn一P_: C, P。 .。仁L益,Ln(完备性条件)刁uSR (面耳管丽.暇“+,:hq+p+l“了万瓦百”。定理4.3 :“若对任意n,存在整数护o使得:a)定理4.2的条件a)对
9、口=qd+Zp成立,右)P昙。d cL乳 c) Pn,:P一 ;仁 Ln(完备性条件,SA“,改奋耳韶而,、M一,一“ZP1“+ !了而五、近似解熟知,方程(2.2)的解u。使泛函F (n )=(u,u)一2(f。,u )在H“上取极小4。函数u。也使泛函Fa(u)=(u,u )心一2( f。,u)。在H上取极小。利用使泛函F“(u产 )二(u,u )一2( f。,。)或F叹(: )=(。户,。尹)一2(f。,。,)在H二上取极小的方法可以得到 (2。1)的近 似解。这种极小化分别 导出方程:加u。 =F叔和A耘口。二F梦。(5。1一2)其中A知=乞(R价叹, R价.)。, A乐“艺( A功n
10、 K, A功,衬。 ,F含二 =万 (f。,功。 )。 , F谈=艺 (f。, A劝。 )。考虑到对 于配置方法,假定在n。中A如K等于Cn K,方程( 5.2 )可以变成艺 (C.U二一f。 )Cn犬n。= O,于是N个线性无关的条件(5.2)可以用下述N个线性无关的条件来代替:在n。中CoUt n =f。这表示用泛函F“在 H几上取极小的办法得到 的近似解和用 配置方法得到的结果是相同的。对 于每个函数u,任H久,算子Ae及Ad使H“中的函数fe及 fd分别和 u,相联 系,在每个子 域n。中fe和严分别取常数值服=F是/nK和蹬=F影n式K K,其中F是=艺(R功叹,R:, )。和F盛=
11、艺(A功n二, Au )。因此,代替(5。2一2),我们写成Aeu,= f亨和Adu,= f矛, (5. 3一4)业且分别用。二和:复表示近似解。我们还令此=(1 0)一:昙和:吕=(尸 )一。蓝声。六、关于逼近算子的界下述定理 成立:定理6.1 :“设:动L。习pn,:,一, (完备性条件);11 )当:是 n 上 的 ( 2P一1)次多项式时总有Aeu=O;则对己知 的赵任H又,范数 Ael o:当l口时保持有界的充要条件是在每个n。中u的一切导数均有界”。定理6.2 :“设L。,P n,:p一 : (完备性条件),则对己知 的双任H另,范数IA叮。 I当l,o时保持有界的充要条条是在每个
12、n。中“的一切导数均有界”。由于几=A呱二和几=Ad l翻昙,业且 1几 1和】尹 吕 I j有界,定理6.1和6.2保证对 于。=u二和u=u孟定理4.了,4. 2和4.3中的量 M。+:是有界的,于是 。孟一1 和! ,名户一“l 是;q“阶的,1 1,二一:二! le是l“+阶的,而 l:急一。蕊! I是l“d+阶的。我们来证明定理6。 2并将定理6。 2的证明留给读 者。假定u的一切 导数在 n。中有 界,我们首先证明范数A口I ul必定有界。事实上,在nn中 将“展 开,我们得到“(x)“乡n,2尸一 : (x)+:晃,:P(x ),其中户n,:r一;pn,:卜:并且因所有z尸阶导数
13、有界,:益,:p (x)=0(12户)。利用条件f ),pn,ZP一 :二L。,于是在n。中函数:,“几可用: (x )=户。,:,一;(x)功; (x)以遏,:,来表示,其中U异,:,=0(12P)。. _。. 不震_ _,._,4且价(之)=重uK(之),士是刀犷中nK,一产刀“甲”K。囚此,允叻nK二o(一r )。另一方面,F益(u产)=艺(R功。K,尺。,)。二乏(尺价K,丑户。,2,)。+艺(R劝。,R价n:)。 U是,:;,利用 条件11),因此有F畏(u )=艺(R价n及, R功。: )。 U育,:,。被积函数(R价叹)狱R如:)U i,:P是乙。阶的,因而是有界的,l护I。 是
14、有界的,定 理 的第 一部分得证。现假设A呱有界,证明在每个n。中左的一切 导数有界。事实上,由于H兮 是H的N维子 空间,使得在n,中A:。二侃。 (九。克罗内克符号)的N个线性无关的函数u。构成 H戈的一组基。于是,函数。可以表示成线性组合u =少。余下来只要证明系数v。是有界的。将算子 1 0作用 于 两端,得到 1 0:二,。 ( 1 0,幼,应用算子A君, A心 1 0。=九厂、其中f n=A. IOu。由于A和 1 0都是非奇异线性变换,它们的积 也是非奇异线性变换并且因此将H置的基映为H“的基。这表示函数 f。构成 H“的基(见4 )。另一方面,利用 本定理的第一部分,范数 l厂
15、。“ 有界,于是,因A. I。,=A。八的范数 有界,系数,。必须都是有界的。函数。的导数都是有界的,于是,因系数,。有界,故函数u =、:二的一切导数也都是有界的。定理得证。比较定理6.1和6.2可知,第二个定理并不需要对应于11 )的条件。条条il)与所谓“分片检验”有关(,至少对于二维和三维弹性问题所取形式即P“1来说是如此。对于P=2,条件11 )意味着用一切 三次多项式函数来检验均满足。这似乎是一种过于苛刻 的要求。但是,我们不要 忘 记, UK是假定表示节点 函、 数值 (La gra ng e插值)。如果在每个节点,函数本身以及 它的直到S阶的导数在节点上的值都用来插值(H e rm ite插值 )
