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1、什么是 Fermi 能级？为什么Fermi 能级可以处于禁带中间？为什么本征半导体的Fermi 能级位于禁带中央？为什么n型半导体的Fermi 能级位于导带底附近？Fermi 能级随着温度和掺杂浓度的改变而如何变化？Fermi 能级（ EF）是一个非常重要的物理概念，它在半导体电子学中起着极其重要的作用。（1）Fermi 能级的概念：在固体物理学中， Fermi 能量 (Fermi energy)是表示在无相互作用的 Fermi 粒子的体系中加入一个粒子所引起的基态能量的最小可能增量； 也就是在绝对零度时，处于基态的Fermi粒子体系的化学势，或者是处于基态的单个Fermi 粒子所具有的最大能
2、量 Fermi 粒子所占据的最高能级的能量。另一方面，按照Fermi-Dirac 统计，在能量为E 的单电子量子态上的平均电子数为：式中的T 为绝对温度，k 为玻尔兹曼常数，EF是该Fermi-Dirac 分布函数的一个参量（称为化学势）。在绝对零度下，所有能量小于EF的量子态都被电子占据，而所有能量大于 EF的量子态都是空着的，则作为化学势的参量EF就是电子所占据的最高量子态的能量，因此这时系统的化学势也就与费米能量一致。从而，往往就形象地把费米能量和化学势统称之为Fermi 能级。虽然严格说来，费米能级是指无相互作用的 Fermi 粒子系统在趋于绝对零度时的化学势，但是在半导体物理电子学领
3、域中，费米能级则经常被当做电子或空穴的化学势来使用，所以也就不再区分费米能级和化学势了。在非绝对零度时，电子可以占据高于EF的若干能级，则这时 Fermi 能级将是占据几率等于50%的能级。处于Fermi能级附近的电子（常称为传导电子）对固体的输运性质起着重要的作用。（2）Fermi 能级的含义：作为 Fermi-Dirac 分布函数中一个重要参量的Fermi 能级EF，具有决定整个系统能量以及载流子分布的重要作用。在半导体中， 由于 Fermi 能级（化学势） 不是真正的能级，即不一定是允许的单电子能级（即不一定是公有化状态的能量），所以它可以像束缚状态的能级一样，可以处于能带的任何位置，当
4、然也可以处于禁带之中。对于金属，其中的自由电子在k 空间中将填充成一个球体， 称为 Fermi 球； Fermi 能量也就是 Fermi 球面对应的能量，该能量可以采用Fermi 球的半径 Fermi 半径 kF来表示为式中的 h 是 Dirac 常数， m 是自由电子的质量。因此，金属中的 Fermi 能级也就是导带中自由电子填充的最高能级。pF= h kF称为 Fermi 动量，vF= h kF/m 称为 Fermi 速度。 一般，金属的 Fermi 能量约为 1.515eV。对于绝缘体和半导体，Fermi 能级则处于禁带中间。特别是本征半导体和绝缘体，因为它们的的价带是填满了价电子（占据
5、几率为100%） 、 导带是完全空着的 （占据几率为0%） ，则它们的 Fermi 能级正好位于禁带中央 （占据几率为50%） 。即使温度升高时， 本征激发而产生出了电子-空穴对， 但由于导带中增加的电子数等于价带中减少的电子数，则禁带中央的能级仍然是占据几率为50%，所以本征半导体的Fermi 能级的位置不随温度而变化，始终位于禁带中央。Fermi 能级实际上起到了衡量能级被电子占据的几率大小的一个标准的作用。在 E1/2 ； 在 EEF时，f(E) 5kT 时，f(E) 0.07，即比 EF高 5kT 的能级被电子占据的几率只有0.7%。因此， EF的高低（位置）就反映了能带中的某个能级是
6、否被电子所占据的情况。Fermi 能级上电子占据的几率刚好为 50%。在温度不很高时， EF以上的能级基本上是空着的（例如，导带就是如此，其中的自由电子很少），EF以下的能级基本上是被电子填满了的（例如，价带就填满了价电子，其中的自由空穴很少）；在EF以上、并越靠近EF（即 E-EF越小）的能级，被电子所占据的几率就越大。对于n 型半导体，因为导带中有较多的电子（多数载流子），则Fermi 能级 EF必将靠近导带底（EC）；同时，掺入施主杂质的浓度越高，Fermi 能级就越靠近导带底。上述分布函数f(E)是指电子占据能带 （导带） 中某个能级的几率（电子的能量越往上越高）。如果是讨论空穴载流子
7、的话（空穴的能量越往下越高），那么就应当是相应于价带中某个能级所空出（即没有被电子占据）的几率，所以空穴占据能带（价带）中某个能级的几率可以给出为对于 p 型半导体，因为价带中有较多的自由空穴（多数载流子），则Fermi 能级 EF在价带顶（ EV）之上、并必将靠近 EV；这时，价带中越是靠近EF的的能级，就被空穴占据的几率越大；同时，掺入受主的杂质浓度越高，Fermi 能级就越靠近价带顶。总之，凡是EF靠近导带底的半导体必将是电子导电为主的 n 型半导体，凡是 EF靠近价带顶的半导体必将是空穴导电为主的 p 型半导体。 当然， 如果 EF处于禁带中央， 即两种载流子分别占据导带能级和价带能级
8、的几率相等，则两种载流子的数量也就差不多相等，那么这就必然是本征半导体，这时的 Fermi 能级特称为本征Fermi 能级（用 EFi表示，与禁带中央线 Ei一致）。由于 Fermi-Dirac 分布函数是载流子体系处于热平衡状态下的一种统计分布规律。因此，也只有在（热）平衡情况下才可采用此分布函数，并且也只有在这时Fermi 能级才有意义。实际上，Fermi 能级本来就是热平衡电子系统的一个热力学函数 化学势。由于在热平衡状态下整个系统具有统一的化学势， 因此整个电子系统、 即使是复杂的混合体系，在热平衡时也必将具有统一的一条Fermi 能级。（3）Fermi 能级与温度和掺杂的关系：Si
9、和 GaAs 半导体的 Fermi 能级与掺杂浓度的关系见图1 。对于 n 型半导体，因为掺入的施主越多，导带电子的浓度就越大，相应地少数载流子 空穴的浓度就越小，则Fermi 能级也就越靠近导带底。对于p 型半导体亦然，掺杂浓度越高， Fermi 能级就越靠近价带顶。当掺杂浓度高到一定程度时，甚至Fermi 能级还有可能进入到导带或者价带内部。Si和 GaAs 半导体的 Fermi 能级与温度的关系亦见图2 。因为当温度升高到一定程度时，不管是 n 型半导体还是p 型半导体， 它们都将转变成为 （高温） 本征半导体。 从而，半导体中 Fermi 能级也将是随着温度的升高而逐渐趋近于禁带中央。即随着温度的升高，n 型半导体的EF将降低， p 型半导体的 EF将上升。此外，在图1 和图2 中也示出了半导体的禁带宽度（Eg=ECEV）随着温度的变化状况。Si 和 GaAs 等半导体的禁带宽度具有负的温度系数。
