四年级小学数学奥数基础教程(全)

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1、小学奥数基础教程（四年级）- 1 - 小学奥数基础教程（四年级）小学奥数基础教程（四年级） 第第 1 1 讲讲 速算与巧算（一）速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧， 也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和 智力的发展。我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的 补同与同补速算法。 例例 1 1 四年级一班第一小组有 10 名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，8

2、4，75。求这 10 名同学的总分。 分析与解分析与解：通常的做法是将这 10 个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现， 这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这 10 个数与 80 的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比 80 小。于是得到总和=8010（6-2-3311-6+12-11+4-5)8009809。实际计算时只需口算，将这些数与 80 的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为 9，再加上 8010，就可口算出结果

3、为 809。例 1 所用的方法叫做加法的基准数法基准数法。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为 “基准”的数（如例 1 的 80）叫做基准数基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差累计差。由例 1 得到： 总和数总和数=基准数基准数加数的个数加数的个数+累计差累计差， 平均数平均数=基准数基准数+累计差累计差加数的个数加数的个数。在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与 加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。 例例 2 2 某农场有 10 块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：462，48

4、0，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。 解解：选基准数为 450，则累计差=1230730232118112511 50，平均每块产量=4505010455（千克）。答：平均每块麦田的产量为 455 千克。求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如 7749（七七四十九）。对于两位数的平 方，大多数同学只是背熟了 1020 的平方，而 2199 的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两 位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法凑整补零法凑整补零法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数 的差，通过移多补少，将所求数

5、转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一 方法。 例例 3 3 求 292和 822的值。 解解：292=2929（291）（29-1）1230281840+1841。8228282（822）（822）22小学奥数基础教程（四年级）- 2 -808446720+46724。由上例看出，因为 29 比 30 少 1，所以给 29“补”1，这叫“补少”；因为 82 比 80 多 2，所以从 82 中“移 走”2，这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐” 。本例中，给一个 29 补 1，就要给另一个 29 减 1；给

6、一个 82 减了 2，就要给另一个 82 加上 2。最后，还要加上 “移多补少”的数的平方。由凑整补零法计算 352，得3535403052=1225。这与三年级学的个位数是 5 的数的平方的速算方法结果相同。这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。 例例 4 4 求 9932和 20042的值。 解解：9932=993993（9937）（993-7）+7210009864998600049986049。20042=20042004（2004-4）（2004+4）4220002008164016000164016016。下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法

7、。请看下面的算式：6646，7388，1944。这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数 与个位数之和为 10。这类算式有非常简便的速算方法。 例例 5 5 8864？ 分析与解分析与解：由乘法分配律和结合律，得到8864（808）（604）（808）60（808）480608608048480608068048480（6064）8480（6010）848（61）100+84。于是，我们得到下面的速算式：由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为 84；积中从百位起前面的数是“个位与十位 相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为

8、 10 的因数”的十位数加 1 的乘积，本例为 8（61）。 例例 6 6 7791？ 解：解：由例 3 的解法得到小学奥数基础教程（四年级）- 3 -由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个 0，本例为 7107。用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。 练习练习 1 11.求下面 10 个数的总和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出 12 株麦苗的高度分别为（单位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦苗的平均高度

9、。3.某车间有 9 个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他们共加工了多少个零件？4.计算：131610+1117121512161312。5.计算下列各题：（1）372； （2）532； （3）912；（4）682： （5）1082； （6）3972。6.计算下列各题： （1）7728；（2）6655； （3）3319；（4）8244； （5）3733；（6）4699。练习练习 1 1 答案答案1.1596。 2.26 厘米。3.711 个。 4.147。5.（1）1369； （2）2809； （3）8281；（4）4624； （5）

10、11664； （6）157609。6.（1）2156； （2）3630； （3）627；（4）3608； （5）1221； （6）4554。 第第 2 2 讲讲 速算与巧算（二）速算与巧算（二）上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。两个数之和等于 10，则称这两个数互补互补。在整数乘法运算中，常会遇到像 7278，2686 等被乘数与乘数 的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。7278 的被乘数与乘数的十位数字相同、 个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；2686 的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相 同

11、，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补同补”速速 算法算法和“补同补同”速算法速算法。 例例 1 1 （1）7674？ （2）3139？分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。（1）由乘法分配律和结合律，得到7674 （76）（70+4） （706）70（76）4707067070464 70（7064）64 70（7010）64 7（7+1）10064。 于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：小学奥数基础教程（四年级）- 4 -由例 1 看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数

12、的个位数之积（不够两 位时前面补 0，如 1909），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加 1 的乘积。“同 补”速算法简单地说就是： 积的末两位是积的末两位是“尾尾尾尾”，前面是，前面是“头头（头（头+1+1）”。我们在三年级时学到的 1515，2525，9595 的速算，实际上就是“同补”速算法。 例例 2 2 （1）7838？ （2）4363？ 分析与解分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。 （1）由乘法分配律和结合律，得到7838 （708）（308） （708）30（708）8 7030+83070888 70308（3070）88 73100810088

13、 （738）10088。 于是，我们得到下面的速算式：（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例 2 看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时 前面补 0，如 3309），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。 “补同”速算法简单地说就是： 积的末两位数是积的末两位数是“尾尾尾尾”，前面是，前面是“头头头头+ +尾尾”。 例 1 和例 2 介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会 发生什么变化呢？ 我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是当两个数的和是 101

14、0，100100，10001000，时，这两个数互为补数，简称互补时，这两个数互为补数，简称互补。如 43 与 57 互补，99 与 1 互补，555 与 445 互补。在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如， 因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是 70，后两位数互补，7723100，所以是“同补”型。又如，等都是“同补”型。 当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如，等都是“补同”型。小学奥数基础教程（四年级）- 5 -在计算多位数的“同补”

15、型乘法时，例 1 的方法仍然适用。 例例 3 3 （1）702708=？ （2）17081792？ 解解：（1）（2） 计算多位数的“同补”型乘法时，将“头（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后 几位。 注意：互补数如果是 n 位数，则应占乘积的后 2n 位，不足的位补“0”。在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例 2 的方法 仍然适用（见例 4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例 2 的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法， 所以就不再讨论了。 例例 4 4 28657265？ 解解：练习练习 2 2计算下列各题：1.6862； 2.9397；3.2787； 4.7939；5.4262； 6.603607；7.693607； 8.40856085。 第第 3 3 讲讲 高斯求和高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于 5050。高斯为什么算得又快又准呢？原 来小高斯通过细心观察发现：1