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1、中小数理化 http:/ 二次函数解析式的几种形式：一般式：yaxbxc2（a、b、c 为常数，a0）顶点式：ya xhk()2（a、h、k 为常数，a0） ，其中（h，k）为顶点坐标。交点式：ya xxxx()()12，其中xx12，是抛物线与 x 轴交点的横坐标，即一元二次方程axbxc20的两个根，且 a0， （也叫两根式） 。2. 二次函数yaxbxc2的图象二次函数yaxbxc2的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果 a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。任意抛物线ya xhk()2可以由抛物线yax2经过适当的平
2、移得到，移动规律可简记为：左加右减，上加下减，具体平移方法如下表所示。在画yaxbxc2的图象时，可以先配方成ya xhk()2的形式，然后将yax2的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将yaxbxc2配成ya xhk()2的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与 y 轴的交点（0，c） ，及此点关于对称轴对称的点（2h，c） ；如果图象与 x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0） ， （x2，0）就行了；如果图象与 x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点， （这两点不是 与 y 轴交点及其对称点） ，一般画图象找 5
3、个点。3. 二次函数的性质中小数理化 http:/ 二次函数yaxbxc2a、b、c 为常数，a0ya xhk()2（a、h、k 为常数，a0）a0a0a0a0 图 象(1)抛物线开口向上， 并向上无限延伸(1)抛物线开口向下， 并向下无限延伸(1)抛物线开 口向上，并向 上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限 延伸性(2)对称轴是 xb a2，顶点是（b aacb a24 42 ，）(2)对称轴是 xb a2，顶点是（b aacb a24 42 ，）(2)对称轴是 xh，顶点是 （h，k）(2)对称轴是 xh，顶点是 （h，k）质(3)当xb a 2时，y随 x 的增大而减小；当xb a
4、 2时，y 随x 的增大而增大(3)当xb a 2时，y随 x 的增大而增大；当xb a 2时，y 随x 的增大而减小(3)当xh时， y 随 x 的增大 而减小；当 xh 时，y 随 x 的增大而增 大。(3)当 xh 时，y 随 x 的增大而增 大；当 xh 时，y 随 x 的增大而减 小(4)抛物线有最低点，当xb a 2时，y 有最小值，yacb a最小值4 42(4)抛物线有最高点，当xb a 2时，y 有最大值，yacb a最大值4 42(4)抛物线有 最低点，当 xh 时，y 有 最小值yk最小值(4)抛物线有最高点，当 xh 时，y 有最大值yk最大值4. 求抛物线的顶点、对称
5、轴和最值的方法配方法：将解析式yaxbxc2化为ya xhk()2的形式，顶点坐标为（h，k） ，对称轴为直线xh，若 a0，y 有最小值，当 xh 时，yk最小值；若 a0，y 有最大值，当 xh 时，yk最大值。公式法：直接利用顶点坐标公式（中小数理化 http:/ aacb a24 42 ，） ，求其顶点；对称轴是直线xb a 2，若ayxb ayacb a 024 42 ， 有最小值，当时，；最小值若a 0，y 有最大值，当xb ayacb a 24 42 时，最大值5. 抛物线与 x 轴交点情况：对于抛物线yaxbxc a20()当 bac240时，抛物线与 x 轴有两个交点，反之也
6、成立。当 bac240时，抛物线与 x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。当 bac240时，抛物线与 x 轴无交点，反之也成立。典型例题典型例题例例 1.1. （1）抛物线yx2132()是由抛物线yx 22怎样平移得到的？（2）若抛物线yx 2向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位，求所得抛物线的解析式。分析：分析：由抛物线平移时，形状和开口方向不变。 （1）抛物线yx 22的顶点是（0，0） ，抛物线yx2132()的顶点是（1，3） ，抛物线yx2132()是由yx 22向右平移一个单位，再向上平移3 个单位得到的。 （2）抛物线yx 2的顶点是（0，0） ，把它向左平移
7、 2 个单位，再向下平移 4 个单位后，顶点是（2，4） ，平移后的抛物线解析式为yx ()242。例例 2.2. 二次函数yaxbxc2的图象如图所示，对称轴为 x1，则下列结论中正确的是（ ）A. ac 0B. b 0C. bac240D. 20ab分析：分析：由图可知：acbac00402，A、C 项错，又知b aa210，b 0，B 项错由b aba212，20ab，故选 D中小数理化 http:/ 3.3. 已知抛物线yaxbxc2如图所示，直线x 1是其对称轴（1）确定 a，b，c， bac24的符号；（2）求证：abc 0（3）当 x 取何值时，y 0，当 x 取何值时，y 0。
8、分析：分析：（1）由抛物线的开口向下，得a 0由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，得c 0由b aab2000，得由抛物线与 x 轴有两个不同的交点 bac240（2）由抛物线的顶点在 x 轴上方，对称轴为x 1当xyabc 10时，（3）由图象可知，当 31x时，y 0由xxy 310或时，例例 4.4. 已知二次函数ymxmxm()2212，其中 m 为常数，且满足 12m，试判断此抛物线的开口方向，与 x 轴有无交点，与 y 轴的交点在 x 轴上方还是在 x 轴下方。分析：分析： 12mm20，抛物线开口向下又m10，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方 44212mmm()()44
9、248414022mmmmm()()抛物线与 x 轴有两个不同的交点例例 5.5. 求抛物线yxx 1 23 22 的顶点坐标写出对称轴与坐标轴交点坐标，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？解：解：yxxxx 1 23 21 22113 222() 1 2122()x抛物线的顶点坐标是（1，2） ，对称轴是直线 x1中小数理化 http:/ 2，抛物线与 y 轴交点（0，3 2）令yxx01 23 202，的解为xx1231 ，抛物线与 x 轴交于点（3，0） ， （1，0）当x 1时，y 随 x 的增大而增大，当x 1时，y 随 x 的增大
10、而减小。例例 6.6. 下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数yaxac xc2()与一次函数yaxc的大致图象，有且只有一个是正确的，正确是（ ）分析：分析：由yaxac xcyaxc2()与常数项均为 c，所以两个图象与 y 轴交点应是一个点（0，c） ，A、B 不对当yaxac xcxxc a 0012 12时，的解为，()抛物线与 x 轴的交点为（1，0） ， （c a，0）当y 0时，axcxc a 0的解为直线与 x 轴的交点为（c a，0）抛物线与直线另一交点在 x 轴上，应选 C。中小数理化 http:/ 7.7. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20m，拱顶距离
11、水面 4m。（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式。（2）在正常水位的基础上，当水位上升 h(m)时，桥下水面的宽度为 d(m)，试求出用 d 表示 h 的函 数关系式；（3）设正常水位时桥下的水深为 2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18m，求 水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？分析：分析：（1）拱桥是一个轴对称图形，对称轴为图中 y 轴，因此可知抛物线上一些特殊点坐标，用待 定系数法可求解析式。（2）当水位上升时，抛物线与水面交点在变化，设为（dh24， ）代入抛物线解析式可得 d 与 h 关系式；（3）根据逆向思维可求水面宽度为 18m，即
12、 d18 时，水位上升多少米？解：解：（1）设抛物线的解析式为 yax2，且过点（10，4） 4101 252aa，故yx 1 252（2）设水位上升 h m 时，水面与抛物线交于点（dh24， ）则hd 41 2542 dh10 4（3）当 d18 时，1810 4076hh，.0762276.当水深超过 2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。例例 8.8. 如图，半圆的直径 AC2，点 B 在半圆上，CB 不与 C、A 重合，F 在 AC 上，且 AEBC，EFAC 于 F，设 BCx，EFy，求 y 与 x 的函数关系式和自变量的取值范围，并在直角坐标系中画出它的图象。中小数理化
13、http:/ 的方法证AEFACB 得到比例式求出 y 与 x 的函数关系式。解：解：AC 是直径，B90又 EFAC，BAFE，AAAEFACBAE ACEF BCxy x，即2yx1 22当 B 为ABC 的中点时，E 与 B 重合，此时BC 2，自变量 x 的取值范围是02x，它的图象如图所示例例 9.9. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000 千克，购进价格为每千克 30 元，物价部门规定 其销售单位不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元，市场调查发现：单价定为 70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出 2 千克，在销售过程中，每天还要支出其
14、它费用 500 元（天数不足 一天时，按整天计算） ，设销售单价为 x 元，日均获利为 y 元。（1）求 y 与 x 的二次函数关系式，并注明 x 的取值范围。（2）将（1）中所求出的二次函数配方成ya xb aacb a()24 422的形式，写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图，观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？中小数理化 http:/ 利较多，多多少？分析：分析：首先明确获利的含义，即每千克获利销售单价购进单价，其次注意自变量的取值范围由 此在画图象时只能是原函数图象的一部分。在（3）中必须分别计算这两种销售方式的总获利，通过比较 大小作答：解：解：（1）若销售单价为 x 元，则每千克降低了（70x）元，日均多售出 2（70x）千克，日均销 售量为60
