《初二数学因式分解分组分解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初二数学因式分解分组分解法（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初二数学因式分解分组分解法 一、分组分解法分解因式的意义 我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式 法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最 后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。 二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项 式就可以用分组的方法分解因式。 分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。 分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多 项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的
2、特点等， 从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。 我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个 多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预 见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适 当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。 三、例题分析 例 1、分解因式： （1）2x2+2xy-3x-3y （2）a2-b2+4a-4b （3）4x2-9y2-24yz-16z2 （4）x3-x2-x+1 分析（1）：解，首先注意到前两项的公因式（2x）和后两项的公因式（-3） ，分别 把它们提出
3、来，剩下的是相同因式（x+y） ，可以继续用提公因式法分解。解，此题也可 以考虑含有 y 的项分在一组。如下面解 2 的解法。 解： 2x2+2xy-3x-3y =(2x2+2xy)-(3x+3y) =2x(x+y)-3(x+y) =(x+y)(2x-3) 解： 2x2+2xy-3x-3y =(2x2-3x)+(2xy-3y) =x(2x-3)+y(2x-3) =(2x-3)(x+y) 说明：解和解虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对 应项系数成比例，分别为 1:1 和 2:（-3） 。这也是分组中必须遵循的规律之一。 分析（2）：若将此题按上题中解的方法分组将含有 a
4、的项分在一组即 a2+4a=a(a+4)， 含有 b 的项一组即-b2-4b=-b(b+4)，那 a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。 可先将 a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。 解： a2-b2+4a-4b =(a2-b2)+(4a-4b) =(a+b)(a-b)+4(a-b) =(a-b)(a+b+4) 分析（3）：若应用解的方法分组将 4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将 4x2-16z2 一组应用平方差公式后再没有公因式可提，则分组失败。 观察（3）题中的特点，后三项符合完全平方公式，将此题 4x2和-9y2-24yz-16z2分组， 先用完全平方
5、公式，再用平方差公式完成分解。 解： 4x2-9y2-24yz-16z2 =4x2-(9y2+24yz+16z2) =(2x)2-(3y+4z)2 =(2x+3y+4z)(2x-3y-4z) 分析（4）：（4）题按照系数比可以分为 1 或者为-1，可以有不同的分组方法。 解： x3-x2-x+1 =(x3-x2)-(x-1) =x2(x-1)-(x-1) =(x-1)(x2-1) =(x-1)(x+1)(x-1) =(x+1)(x-1)2 解：原式=(x3-x)-(x2-1) =x(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x-1) =(x+1)(x-1)2
6、说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启 示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。 总结：一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式 两项两项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍 有公因式可提，如（1）题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组 之间的公因式，如（2）题、 （4）题。若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项 分组先用完全平方公式再应用平方差公式，如（3）题。例 2、分解因式： m2+n2-2mn+n-m 分析：此题是一个五项式，其中 m2-2m
7、n+n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有 公因式可提取，因而可采用前三项、后二项分组。 解： m2+n2-2mn+n-m =(m2-2mn+n2)-(m-n) =(m-n)2-(m-n) =(m-n)(m-n-1)例 3分解因式 （1） x2-y2-z2-2yz+1-2x （2） x2-6xy+9y2-10x+30y+25 （3） a2-a2b+ab2-a+b-b2 分析（1）：此题是一个六项式，经过分析可采用三项、三项分组，x2-2x+1 一组，-y2- 2yz-z2一组，分别用完全平方公式后再用平方差公式分解。 解： x2-y2-z2-2yz+1-2x =(x2-2x+1)
8、-(y2+2yz+z2) =(x-1)2-(y+z)2 =(x-1+y+z)(x-1-y-z) 分析（2）：此题也是六项式，前三项是(x-3y)2，而最后一项是 52，中间两项恰巧能分 解成-25(x-3y)，所以可以用完全平方公式来分解。 解： x2-6xy+9y2-10x+30y+25 =(x2-6xy+9y2)-10x+30y+52 =(x-3y)2-2(x-3y)5+52 =(x-3y-5)2 分析（3）：此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、 二项分成三组，各自提取公因式，再提取三组间的公因式。 解： a2-a2b+ab2-a+b-b2 =(a2-b2)-
9、(a2b-ab2)-(a-b) =(a+b)(a-b)-ab(a-b)-(a-b) =(a-b)(a+b-ab-1) =(a-b)(b-1)-a(b-1) =(a-b)(b-1)(1-a) 说明：此题分解到(a-b)(a+b-ab-1)时要用观察提取公因式的剩余因式(a+b-ab-1)是否能再 分解因式。因为它又是四项式，不能应用公式和提取公因式可再考虑分组分解法采用二项 二项分组法再提取公因式。例 4分解因式： （1） 3x3+6x2y-3x2z-6xyz （2） ab(c2+d2)+cd(a2+b2) （3） (ax+by)2+(bx-ay)2 （4） a2-4ab+3b2+2bc-c2
10、分析（1）：此题是四项式，这四项中有公因式 3x 应先提取公因式再将剩余因式进行 二、二分组。 解： 3x3+6x2y-3x2z-6xyz =3x(x2+2xy-xz-2yz) =3x(x2+2xy)-(xz+2yz) =3xx(x+2y)-z(x+2y) =3x(x+2y) (x-z) =3x(x+2y)(x-z) 分析（2）：多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。 解： ab(c2+d2)+cd(a2+b2) =abc2+abd2+a2cd+b2cd =(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd) =ac(bc+ad)+bd(ad+bc) =(bc+ad)(ac
11、+bd) 分析（3）：先将括号部分分别用完全平方公式打开再分组分解。 解： (ax+by)2+(bx-ay)2 =a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2 =a2x2+b2y2+b2x2+a2y2 =(a2x2+b2x2)+(b2y2+a2y2) =x2(a2+b2)+y2(a2+b2) =(a2+b2)(x2+y2) 分析（4）：将 3b2变形为 4b2-b2再分组进行。 解： a2-4ab+3b2+2bc-c2 =a2-4ab+4b2-b2+2bc-c2 =(a2-4ab+4b2)-(b2-2bc+c2) =(a-2b)2-(b-c)2 =(a-2b+b-c)(a-2
12、b-b+c) =(a-b-c)(a-3b+c) 说明：（4）题在分组前先采用了拆项后再重新分组，达到提取公因式的目的。 四注意问题提示： 分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。 分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。 分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行 因式分解。 对于四项式的两两分组，尽管方法不唯一，但是并不是任何两项结组都可达到目的， 分组要注意合理性，四项式中的另一种三项，一项分组，这三项的一组中应使其成为完全 平方公式，而剩下的一项必须能写成代数式的平方，且又与完全平方公式符号相反，则得 到 （ab）2-c2或 c2-（ab）2的形式，再用平方差公式分解。 五项式一般采用三项、两项分组；六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、 二、二分组。 原多项式中带有括号时一般不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解。
