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1、绪论：绪论：例例 已知已知，作为作为3.141592的近似值，试分别求出它们有效数字的近似值，试分别求出它们有效数字142. 31x141. 32x的位数及相对误差限的位数及相对误差限解：（解：（1）0(0)=10，f(1)=(1)=sin1(1)=e+8 0 0 f( (x)=)= ex+10x2 =0=0 在在00，11有根。又有根。又 f ( (x)=)= ex+10 0(0(x 00，1)1)，故，故 f( (x) )0 0 在区间在区间00，11内有唯一实根。内有唯一实根。 给定误差限给定误差限 106，有，有12ln10ln612lnln)ln(abk只要取只要取 k19 次次.第
2、一章第一章例例 求过这三个点求过这三个点 (0，1)，(1，2)，(2，3)的拉格朗日插值多项式。的拉格朗日插值多项式。解：解： 13) 12)(02() 1)(0(2)21)(01 ()2)(0(1)20)(10()2)(1()(2xxxxxxxxP此为一条直线，其原因在于此为一条直线，其原因在于(0，1)，(1，2)， (2，3)三点共线三点共线注意注意 2：1)(0 niixl例例 1 已知函数已知函数 y=f(x)的观察数据为下表，试构造拉格朗日多项式的观察数据为下表，试构造拉格朗日多项式 Ln (x)， 并计算并计算 L(1)。xk2045yk5131解：解： 先构造基函数先构造基函
3、数84)5)(4( )52)(42)(02()5)(4()(0xxxxxxxl40)5)(4)(2( )50)(40)(2(0()5)(4)(2()(1xxxxxxxl24)5)(2( )54)(04)(24()5()2()(2xxxxxxxl35)4)(2( )45)(05)(25()4)(0)(2()(3xxxxxxxl所求三次多项式为所求三次多项式为 L3(x)35)4)(2( 24)5)(2() 3(40)5)(4)(2( 84)5)(4(5xxxxxxxxxxxxxxxL3(1)72412155 141 425例例 2 已给已给 sin0.32=0.314567,sin0.34=0.
4、333487, sin0.36=0.352274, 用线性插值及抛物插用线性插值及抛物插 值计算值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。的值并估计截断误差。 解：解： 由题意取由题意取 x0=0.32, y0=0.314567 , x1=0.34 ,y1=0.333487 , x2=0.36 , y2=0.352274 。 用线性插值及抛物插值计算，取用线性插值及抛物插值计算，取 x0=0.32 及及 x1=0.34 , 又由公式得又由公式得 sin0.3367 L1(0.3367)= )x- (0.3367y00*0101 xxyy = =0.330365 .0.01670.020.
5、018920.314567*其截断误差得其截断误差得)(2)(102 1xxMRxxx其中其中 ，因，因 f(x)=sinx，f/(x)= -sinx，)(/10max2xf xxxM 可取可取，于是，于是3335. 0)(110)(max2 xSinxSin xxxM R1(0.3367) = sin 0.3367 L1(0.3367) 1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033) 0.92 105， 若取若取 x1=0.34，x2=0.36 为节点，则线性插值为为节点，则线性插值为，330387. 0)0033. 0(02. 0018787. 0333487. 0)3367. 0
6、(3367. 01 0.3367sin1 12121)(xxxyyyL其截断误差为其截断误差为，)(2)(212 1xxMxxxR其中其中3523. 0)(/212max x xxxfM于是于是 51036. 1)0233. 0)(0023. 0)(3523. 0(21)3367. 0(1 3367. 0sin)3367. 0(1LR用抛物插值计算用抛物插值计算 sin0.3367 时，可得时，可得330374. 00008. 0105511. 0352274. 00004. 01089. 3333487. 00008. 0107689. 0314567. 0)3367. 0()()()()(
7、)()(3367. 0sin44421202102 2101201 2010210yLxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxxxxxxx这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得当高了。其截断误差得 )()(6| )(21031|xxxxxxxMR其中其中828. 0)(0cos/20max3 xxMfxxx于是于是62210178. 0)0233. 0)(033. 0)(0167. 0)(828. 0(61)3367. 0(3367. 0sin)3367. 0(LR
8、练习：已知函数练习：已知函数 y=ln x 的函数表如下：的函数表如下：x1011121314 y=ln x2.30262.39792.48492.56492.6391 分别用分别用 Lagrange 线性插值和抛物线插值求线性插值和抛物线插值求 ln 11.5 的近似值，并估计误差。的近似值，并估计误差。解解 线性插值。取两个节点线性插值。取两个节点，插值基函数为，插值基函数为110x121x)12()(101 0xxxxxxl11)(010 1xxxxxxl由式（由式（1-4）得）得)11(4849. 2)12(3979. 2)(1xxxL将将代入，即得代入，即得5 .11x4414. 2
9、5 . 04849. 25 . 03979. 2)5 .11(5 .11ln1 L按式（按式（1-12）得）得)12)(11(! 2)(ln)(1xxxxR 因为因为，在在与与之间，故之间，故21)(lnxx 1112=)(ln x0082645. 0111122于是于是3 11003306. 15 . 05 . 00082645. 021)5 .11(R抛物线插值。取抛物线插值。取，插值多项式为，插值多项式为110x121x132x)1213)(1113()12)(11(5649. 2)1312)(1112()13)(11(4849. 2)1311)(1211()13)(12(3979. 2
10、)(2xxxxxxxL)12)(11(28245. 1)13)(11(4849. 2)13)(12(19895. 1xxxxxx所以所以)5 . 1(5 . 04849. 2)5 . 1()5 . 0(19895. 1)5 .11(5 .11ln2L442275. 2)5 . 0(5 . 028245. 1因为因为，于是，于是32)(lnxx 2 31311101503. 0112)(lnmax x x因此用抛物线插值计算的误差为因此用抛物线插值计算的误差为)135 .11)(125 .11)(115 .11(! 3)(ln)5 .11(2 xR52103938. 95 . 15 . 05 .
11、 0101503. 061查表可得查表可得。442347. 25 .11ln例 给定函数的函数表)(xfy x-2012 )(xf171217写出函数的差商表。)(xfy 解 差商表如下：ix)(ixf1 阶差商2 阶差商3 阶差商-2 0 1 217 1 2 17-8 1 153 7185 . 95 . 25 . 2)3)(1(5 . 0) 1(1,)(,)()()(22101010002xxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN练习：试列出练习：试列出 f(x)=x3 在节点在节点 x =0，2，3，5，6 上的各阶差商值。上的各阶差商值。例 对上例的中的，求节点为的一次插值多项式，节点
12、为)(xf10,xx的二次插值多项式和节点为的三次插值多项式。210,xxx3210,xxxx解 差商表如下：ix)(ixf1 阶差商2 阶差商3 阶差商-2 0 1 217 1 2 17-8 1 153 71由上例知，17)(0xf8,10xxf3,210xxxf，于是有1,4210xxxxfxxxN81)2(817)(1)(,)(,)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxN123)2( 381)(2 2xxxxxxN)()(,)(,)(,)()(21032101021001003 xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN144) 1()2(123) 1(
13、)2()()(23223 xxxxxxxxxxxxNxN练习已知函数表练习已知函数表(见下表见下表)，试用牛顿插值公式求，试用牛顿插值公式求，并计算，并计算的近似值的近似值。)(2xN)5 . 1 (fx132f(x)121解：列出差商表：xi0 阶差商1 阶差商2 阶差商11320.52132.5)(,)()(01001xxxxfxfxN625. 0)5 . 1 ()5 . 1 (2LNf例例. 给定单调连续函数给定单调连续函数 yf(x)的函数值表如下的函数值表如下x-2-1123f(x)-10-511118求方程求方程 f(x)0 的根的尽可能好的近似值的根的尽可能好的近似值 解：分析如
14、果直接运用插值公式，可以求得解：分析如果直接运用插值公式，可以求得 4 次插值多项式。从而可以得到一元次插值多项式。从而可以得到一元 4 次次 方程。然而我们没有可靠的办法直接解高次方程。方程。然而我们没有可靠的办法直接解高次方程。 因为因为函数函数 yf(x)单调连续，所以单调连续，所以 f(x)必存在反函数必存在反函数 xf -1(y) 利用已知函数值表可知利用已知函数值表可知y=f(x)-10-511118xf -1(y)-2-1123建立差商表建立差商表ykf -1(yk)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商102510.2110.3333330.0121211120.10.0145830.0012721830.1428570.0025210.0007440.000072得到牛顿插值得到牛顿插值)11)(1)(5)(10(0.000072 ) 1)(5)(10(0.001
