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1、第 四 章 扭 转同济大学航空航天与力学学院 顾志荣一、教学目一、教学目标标与教学内容与教学内容1、教学目标(1)掌握扭转的概念；(2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；(3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；(4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；(5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；(6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。(7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。2、教学内容(1) 扭转的概念和工程实例；(2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图；(3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;(4)
2、 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件；(5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件；(6) 圆轴受扭破坏分析；(7) 矩形截面杆的只有扭转；(8) 薄壁杆件的自由扭转。二、重点和难点1、重点：教学内容中（1）（6）。2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。三、教学方式三、教学方式通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。四、建四、建议议学学时时6 学时五、五、实实施学
3、施学时时六、六、讲课讲课提提纲纲工程工程实实例：例：图 4-1*扭转和扭转变形1、何谓扭转？如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。2、何谓扭转变形？在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种变化形式称为扭转变形。换言之，受扭转杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。I 圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力和力和强强度度计计算算一、外力偶矩、扭矩和扭矩图1、外力偶矩(T)的计算KNm (7-1)nPTp02. 7Pp指轴所传递的功率
4、（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min）KNm (7-2)nPTkW55. 9PkW指轴所传递的功率（千瓦、Kw） n 指轴的转速（转/分、r/min）2、扭矩（Mn）的确定及其符号规定（1）Mn的确定 截面法图 4-30xM0AnTM左AnTM左0xM0BnTM右BnTM右（2）Mn的符号规定 右手螺旋法则图 4-43、扭矩图扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。作法：轴线（基线）x 横截面的位置纵坐标 Mn的值正、负 正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。例题 7-1 一传动轴作每分钟 200 转的匀速转动，轴上装有 5 个轮子（7-2,a）。主动轮 2 输入的功率为 6
5、0kW,从动轮 1，3，4，5 依次输出的功率为 18kW,12kW,22kW 和 8kW。试作出该轴的扭矩图。图 4-5解：（1）代入公式 7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。（2）作扭矩图，见图 4-5，b、圆轴圆轴扭扭转时转时横截面上的横截面上的应应力力1、实心圆轴（1） 的分布规律(a) (b) 图 4-6（2） 的方向由 Mn确定， 与 M n同向（见图 4-6，a） 注意 半径（3） 的计算(7-3)pn IM式中 Mn- 横截面上的扭矩； -指截面上所求应力的点到截面圆心的距离; Ip-指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为。324DIp（4） 计算公式的讨论：对于某一
6、根受扭的圆轴而言，一定发生在所在段；maxmaxnM在确定的截面上，一定发生在 处（周边上）；maxmaxIp的意义从 的计算公式讨论 Ip ：Ip愈大， 愈小；从应力分布状况讨 Ip ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，达到充分利用材料、减轻自重的目的。2、空心圆轴（1） 的分布规律（2） 的计算图 4-7计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同空心圆轴的 Ip空计算44411 . 01324 DDIp空式中的Dd（3） 的方向仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。3、薄壁圆筒1 界限及误差当时，可用薄壁圆筒公式计算 ，用空心、薄壁计算公
7、9 . 0Dd式之误差仅为 3%左右。2 的分布规律 图 4-8（3） 的计算（r0见图 4-8） （7-4） trMn2 02三、三、圆轴圆轴扭扭转时转时斜截面上的斜截面上的应应力力横截面上：发生在周边各点，=0max圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。在任意一点取一微小的正六面体 abcdefgh:图 4-9分析垂直于前后两个面的任一斜截面 mn 上的应力：设斜截面 mn 的面积为 dA,则 mb 面和 bn 面的面积：cos dAAmbsin dAAbn选取参考轴 、写出平衡方程： 0nF0cos)sin(sin)cos(d
8、AdAdA 0F0sin)sin(cos)cos(dAdAdA利用，整理上两式，得：(a) 2sin(b)2cos据此(a)(b)两式，可确定单元体内的最大剪应力、最大和最小正应力以及它们所在截面的方位：（1）由(b)式知，单元体的四个侧面上的剪应力的绝对值最大，且均等于 。)0(2cos01800 oo)90(2cos027090 oo（2）由（a）式知：)45(2sin0 450) 1()135(2sin0 1350即：图 4-11这一结论可以从扭转试验中试件的破坏现象得到验证。（低碳钢）（ 铸铁 ）图 4-11四、圆轴扭转时强度条件（7-5）-等直圆轴受扭时的强度条件 pn WMmax
9、max对于实心圆截面 33 2 . 016ddWp对于空心圆截面 )1 (2 . 0)1 (164343 DDWp空而 ：（1）可通过扭转试验测定： S-塑性材料b-脆性材料（2） 6 . 05 . 0）（例题 4-2 已知：主传动轴 AB 由 45#钢的无缝钢管制成。外径D=90mm,壁厚 t=2.5mm,=60MPa,工作时承受 Mnmax=1.5KNm试：校核该轴的强度。图 4-12解：945. 0905902DtD Dd1 按薄壁圆管公式计算 ： MPa50 105 . 210)25 . 290(21500 23622 0trMn2 按空心圆轴公式计算 ：3343 43 mm1029)
10、945. 01 (1690)1 (16DWp空 MPa7 .51101029105 . 1933max 空pn WM校核结果：强强度足度足够够。两种计算方法的误差比较：%4 . 3%10050507 .51例题 4-3 若将 AB 轴改为实心轴，应力条件相同（即），试MPa7 .51确定实心轴的直径 D1=？并比较空心轴和实心轴的重量。解：53mmm053. 016105 . 1107 .5113 13 6 maxDDWMpn 两两轴长轴长度相等，材料相同，度相等，材料相同，则则重量之比重量之比=面面积积之比之比则： （用料）2 . 385905344 222222 1 dDDAA 空心实心（
11、重量） 31. 053859044 2222 122 DdDAA 实心空心小结：在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的 31%；截面如何合理，一方面要考虑强度、刚度因素，同时也要考虑加工工艺和制造成本等因素；空心圆轴的壁厚也不能过薄，否则会发生折皱而丧失承载能力；应注意的是：若沿薄壁管轴线方向切开，则其扭转的承载能力将大为降低。图 4-13、圆轴扭转时的变形计算1、扭转角与剪切角的概念图 4-14。A。B。2、圆轴扭转时的变形计算扭转角的计算（7-6）pn GIlM（7-7）o180pn GIlM单位长度扭转角的计算（7-8）pn GIM l（7-9）o180pn GIM l3、扭转时刚
12、度条件（7-10） pn GIMmax max（7-11） o180max max pn GIM例题 4-4 某轴 AB 段是空心轴，内外径之比；BC 段是实8 . 0Dd心轴（其倒角过度忽略不计），承受的外力偶矩及其长度如图示，已知rad（弧度）（弧度） （度）（度） Rad/m/mRad/m/m轴材料的=80MPa、=1、G=80GPa,试设计 D 和 d 应等于多少？mo图 4-15解：1、作扭矩图2、根据强度条件设计 D、dAB 段：MPa80 )1 (16114643max DWMnp空mm6 .491080)8 . 01 (114616 364DBC 段：MPa80167643ma
13、xdWMnp实36.5mmm0365. 010807641636d3、根据刚度条件设计 D、dAB 段：m1180)1 (3210801146180449oo DGIMnp空61.1mmm0611. 0180 1)8 . 01 (1080114632 449o DBC 段：m1180oo 空pGIMn11803210807644 9 od48.6mmm0486. 0180 11080764324 9o d4 结论：D=61.1mm 刚度条件确定。d=48.1mm 刚度条件确定。 扭转超静定例题 4-5 圆轴受力如图 4-15 所示。已知：D=3cm，d=1.5cm, =50MPa、=2.5、G
14、=,试对此轴进行强度和刚度校核。moPa10809图 4-16解：截面的几何性质计算：AC 段：4884 8444 1045. 710325 . 110323 3232mdDIP空CE 段：48844 1095. 710323 32mDIP实求约束反力:解除 A 端约束，建立变形协调条件：图 4-17，即：0EA01025500104030010153001040104022222 实实空实空PPPPAPA EAGIGIGIGIT GIT将 G、代入上式运算，得 空PI实PIMN52AT再由静力平衡方程解出 MN252ET强度校核BC 段： 3643 43 m1097. 4)35 . 1(1 16)03. 0()1 (16D空pW50MPaMPa9 .491097. 42486max
